Hallo :-)
Ich finde den aufgeführten Rechenweg nicht schön und kann dir als Alternative mal meine Herangehensweise zeigen, weil ich sie viel intuitiver finde:
Gegeben: V=K[t]≤1 mit Basis B : =(= : b11+t,= : b21+2t)
Gesucht: Linearformen (lineare Abbildungen) b1∗,b2∗∈V∗, sodass die Definition bi∗(bj)=δij für alle 1≤i,j≤2 erfüllt ist. Denn damit hat man ja die duale Basis B∗=(b1∗,b2∗) von V∗ gefunden. Wir suchen also lineare Abbildungen, die eine Basis von V∗ bilden.
Rechnung: Jetzt arbeiten wir nur noch mit der Definition.
Hier sind es nur lineare Polynome. Für einen dualen Basisvektor setzt man hier also ein Polynom der Form a0+a1⋅t ein und nutzt seine Linearität aus:
bi∗(a0+a1⋅t)=a0⋅bi∗(1)+a1⋅bi∗(t). Es interessiert uns nur noch, was bi∗(1) und bi∗(t) sind.
Man setzt jetzt einfachmal in die gesuchten dualen Basisvektoren ein:
1.) Zu b1∗:
b1∗(b1)=b1∗(1+t)=b1∗(1⋅1+1⋅t)=1⋅b1∗(1)+1⋅b1∗(t)=1
b1∗(b2)=b1∗(1+2⋅t)=b1∗(1⋅1+2⋅t)=1⋅b1∗(1)+2⋅b1∗(t)=0
Das kannst du auch gerne in Matrixform überführen:
(1112)⋅(b1∗(1)b1∗(t))=(10).
Das ist zu lösen. Heraus kommt: b1∗(1)=2 und b1∗(t)=−1.
Also lautet der erste duale Basisvektor
b1∗(a0+a1⋅t)=a0⋅bi∗(1)+a1⋅bi∗(t)=a0⋅2+a1⋅(−1)=2⋅a0−a1
Probier es jetzt mal mit dem zweiten dualen Basisvektor.