Linearkombination, duale Basis bestimmen

Question

kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Die Aufgabe lautet:

Seien K ein Körper und V=[X]_≤1  der Raum der Polynome von Grad ≤1. Dann ist b:=(1+X,1+2X) eine Basis von V.

Bestimmen Sie dazu die zu b gehörige duale Basis von b^*, indem Sie diese als Linearkombination bzgl. der dualen Basis (1^*,X^*) der Standardbasis (1,X) darstellen.

Ich habe folgenden Ansatz verstanden. Man stellt die 1  und das X mithilfe der Daten von b auf:

1=2(1+X)+(-1)(1+2X) und X =(-1)(1+X)+1(1+2X)

aber die Rechenschritte danach verstehe ich nicht:

⇒ (a₀+a, X)= (2a₀-a)(1+X)+(-a₀+a)(1+2X)

Wie komme ich auf den obigen Schritt?

Danach: Für b=(1+X, 1+2X), wobei b₁=1+X und b₂=1+2X gilt also

b₁*(a₀+a,X)=2a₀-a₁=(2×1*+(-1)X*(a₀+a,X)

b₂*(a0+a,X)=-a₀+a=((-1)×1*+X*)(a₀+a,X)

Man erhält somit: b₁*=2×1*+(-1)X*  und b₂*=(-1)×1*+X*

Kann mir jemand die Rechenschritte erklären, wenn es für/sie in Ordnung ist, denn ich kann mir vorstellen, dass das ein langer Rechenweg ist. Dass man die 1 und das X mithilfe von b aufstellt, das habe ich verstanden aber leidder den Rest nicht

Answer 1

Hallo :-)

Ich finde den aufgeführten Rechenweg nicht schön und kann dir als Alternative mal meine Herangehensweise zeigen, weil ich sie viel intuitiver finde:

Gegeben: $V=\mathbb{K}[t]_{\leq 1}$ mit Basis $\mathcal{B}:=(\underbrace{1+t}_{=:b_1},\underbrace{1+2t}_{=:b_2})$

Gesucht: Linearformen (lineare Abbildungen) $b_1^*,b_2^*\in V^*$, sodass die Definition $b_i^*(b_j)=\delta_{ij}$ für alle $1\leq i,j\leq 2$ erfüllt ist. Denn damit hat man ja die duale Basis $\mathcal{B}^*=(b_1^*,b_2^*)$ von $V^*$ gefunden. Wir suchen also lineare Abbildungen, die eine Basis von $V^*$ bilden.

Rechnung: Jetzt arbeiten wir nur noch mit der Definition.

Hier sind es nur lineare Polynome. Für einen dualen Basisvektor setzt man hier also ein Polynom der Form $a_0+a_1\cdot t$ ein und nutzt seine Linearität aus:

$b_i^*(a_0+a_1\cdot t)=a_0\cdot b_i^*(1)+a_1\cdot b_i^*(t)$. Es interessiert uns nur noch, was $b_i^*(1)$ und $b_i^*(t)$ sind.

Man setzt jetzt einfachmal in die gesuchten dualen Basisvektoren ein:

1.) Zu $b_1^*$:

$b_1^*(b_1)=b_1^*(1+t)=b_1^*(1\cdot 1+1\cdot t)=1\cdot b_1^*(1)+1\cdot b_1^*(t)=1$

$b_1^*(b_2)=b_1^*(1+2\cdot t)=b_1^*(1\cdot 1+2\cdot t)=1\cdot b_1^*(1)+2\cdot b_1^*(t)=0$

Das kannst du auch gerne in Matrixform überführen:

$\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_1^*(1)\\b_1^*(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$.

Das ist zu lösen. Heraus kommt: $b_1^*(1)=2$ und $b_1^*(t)=-1$.

Also lautet der erste duale Basisvektor

$b_1^*(a_0+a_1\cdot t)=a_0\cdot b_i^*(1)+a_1\cdot b_i^*(t)=a_0\cdot 2+a_1\cdot (-1)=2\cdot a_0-a_1$

Probier es jetzt mal mit dem zweiten dualen Basisvektor.

Comments

Ich danke Ihnen, ich würde mich heute Abend noch dransetzen und dann meine Lösung hochladen. Aber eine Frage:

Woher weiß ich, dass aus b₁^*(1+t)

b₁^*(1×1+1×t) wird, also wie schreibt man "1×1"

---

Vergiss den obigen Ansatz, $1$ mithilfe anderer Basispolynome darzustellen, bzw ich mache es in meinem Weg nicht.

---

Okay dankeschön!

---

Ich habe total vergessen mich zu melden. Ich habe die Aufgabe, die ich mache sollte, leider nicht hinbekommen.

---

Wo lag denn das Problem?

---

Schon direkt am Anfang um ehrlich zu sein.

Sie haben ja bei dem einen b₁^*(b1) und

b₁^*(b2) gebildet. Musste ich dann bei dem zweiten dualen Basisvektor

b₂^*(b1) und b₂^*(b2) bilden?

---

Ja, genauso ist es.

---

Oh okay -.- dann würde mich nochmal morgen hinsetzen und das hochladen. Gerade seitze ich an anderen Aufgaben. Das tut mir sehr sehr leid. Ich dachte es wäre falsch

---

Wenn du Fragen zur Aufgaben, dann stell sie bitte.