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Aufgabe:

Durch Verbesserung im Betrieb kann ein Eisenbahnzug jetzt eine um 9 km/h höhere Durchschnittsgeschwindigkeit erreichen und erzielt dadurch auf einer Strecke von 180 km eine Zeiteinsparung von 40 min. Wieviel Stunden benötigte er für die Strecke?

Lösung: 4 h


Problem/Ansatz:

Weg = Geschwindigkeit * Zeit

180 = x * y

y = \( \frac{180}{x} \)


\( \frac{180}{x} \) * y = \( \frac{180}{x+9} \) * y + \( \frac{180}{x+9} \) * \( \frac{40}{60} \) 

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V=s/t (Geschwindigkeit = Weg/Zeit)

Sei t die Zeit (in Minuten), die der Zug vor der Betriebsverbesserung gebraucht hat und Vn die Geschwindigkeit nach der Betriebsverbesserung:

Vn=180/t+9

Vn=180/(t-40)

Löse 180/t+9=180/(t-40).

(Vermutlich falsch)

Das hatte ich auch vermutet. Jetzt ist es gewiss.

Statt 40 muss es 40/60 lauten. Dann passt es. :)

Du hast einmal mit Stunden (9) und einmal mit Minuten (40) gerechnet.

Also nur ein Einhéitenfehler.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+180%2Ft%2B9%3D180%2F%28t-40%2F60%29

Danke für den Hinweis.

Du hast einmal mit Stunden (9) und einmal mit Minuten (40) gerechnet.
Also nur ein Einhéitenfehler.

Wieso, die 9 sind doch weder Stunden, noch Minuten, sondern haben die Einheit km/h. Und zwei verschiedene physikalische Größen, nämlich Zeit und Geschwindigkeit zu addieren (t+9), ist nicht nur ein Einheitenfehler.

Unabhängig davon: Wenn im Nenner der 1. Gleichung zu t etwas addiert wird, dann muss die Geschwindigkeit doch kleiner werden und nicht größer. Nach der Vertriebsverbesserung erreicht der Zug aber eine höhere Durchschnittsgeschwindigkeit.

Entschuldigung, ich nehme alles zurück, denn es fehlt ja die Klammer (t+9). ;-)

4 Antworten

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Beste Antwort

Durch Verbesserung im Betrieb kann ein Eisenbahnzug jetzt eine um 9 km/h höhere Durchschnittsgeschwindigkeit erreichen und erzielt dadurch auf einer Strecke von 180 km eine Zeiteinsparung von 40 min. Wie viel Stunden benötigte er für die Strecke?

Vorher

s = v * t =180

Nachher

s = (v + 9) * (t - 40/60) = 180

Löse das Gleichungssystem

https://www.wolframalpha.com/input/?i=v*t%3D180%2C%28v%2B9%29*%28t-40%2F60%29%3D180

Man erhält t = 4 h und v = 45 km/h

Antwort

Vorher brauchte der Zug bei einer Geschwindigkeit von 45 km/h eine Zeit von 4 Stunden.

Nachher benötigt der Zug bei einer Geschwindigkeit von 54 km/h eine Zeit von 3 Stunden und 20 Minuten.

Avatar von 486 k 🚀
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Aloha :)

Wir rechnen im Folgenden Geschwindigkeiten in \(\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\) und Zeiten in \(\mathrm h\).

Die zurückgelegte Strecke ist vor und nach der Verbesserung dieselbe:$$v_1\cdot t_1=180\quad;\quad v_2\cdot t_2=180$$Nach der Verbesserung benötigt der Zug \(\frac23\,\mathrm h\) weniger Zeit und ist \(9\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\) schneller:$$t_2=t_1-\frac23\quad;\quad v_2=v_1+9$$Damit können wir wie folgt rechnen:$$\left.\underbrace{v_2\cdot t_2}_{=180}=\left(v_1+9\right)\left(t_1-\frac23\right)=\underbrace{v_1\cdot t_1}_{=180}+9t_1-\frac23v_1-6\quad\right|-180$$$$\left.0=9t_1-\frac23v_1-6\quad\right|\cdot t_1$$$$\left.0=9t_1^2-\frac23\,\underbrace{v_1t_1}_{=180}-6t_1\quad\right|\text{\(v_1t_1=180\) einsetzen}$$$$\left.0=9t_1^2-120-6t_1\quad\right|\colon9$$$$\left.t_1^2-\frac23t_1-\frac{40}{3}=0\quad\right|\text{\(pq\)-Formel}$$$$t_1=\frac13\pm\sqrt{\frac19+\frac{40}{3}}=\frac13\pm\sqrt{\frac{121}{9}}=\frac13\pm\frac{11}{3}$$Da eine negative Lösung keinen Sinn macht, beträgt die alte Fahrzeit:$$t_1=\frac13+\frac{11}3=\frac{12}{3}=4$$

Avatar von 152 k 🚀

Für die guten Antworten vielen Dank. Ich habe es jetzt verstanden.

+1 Daumen

180=v*t=(v+9)*(t-2/3)

v*t= v*t+9*t -v*2/3 -6

0=9 *t -v*2/3 -6

v=1,5*(9*t -6)=13,5t-9


180=(13,5t-9)*t

13,5t²-9t-180=0

t²-2/3*t-40/3=0

Mit Lösungsformel:

(t1=-10/3  negative Lösung entfällt!)

t2=4

Avatar von 47 k
0 Daumen

vorher:

v*t= 180

v= 180/t

nachher:

(v+9)*(t-40/60) = 180

(180/t+9)*(t-2/3) = 180

180 - 120/t +9t-6= 180

-120/t+9t-6=0

-120+9t^2-6t= 0

t^2-2/3*t-120/9 = 0

t= 4

v= 45km/h (vorher)

v= 54km/h (nachher)

Avatar von 81 k 🚀

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