Aufgabe:
Betrachte die Menge alle Matrizen \(B \in \mathbb{R}^{2x2} \) die mit der Matrix \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \) vertauschen:
\( U:= \{B \in \mathbb{R}^{2x2}: AB = BA\} \)
(a) Zeigen Sie, dass die Menge U ein UV des Vektorraums \( V = \mathbb{R}^{2x2}\text{ aller reellen 2 x 2 Matrizen bildet.} \\\text{(b) Bestimmen Sie eine Basis S von U und stellen sie die Matrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \in U \text{ als Linearkombination der Vektoren S dar.} \)
Problem/Ansatz:
Ich komme leider ab der Basis Bestimmung nicht weiter. Ist mein/e Beweis/Rechnung richtig?
Wie soll ich die Matrix: \( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\) als Linearkombination darstellen von der Basis S? Das einzige was Sinn machen würde wäre:
\( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}=3*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+ 2*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+4*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+5*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Aber dies ist nicht meine Basis.
(a) \( \text{(i) Zu zeigen: }\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in U:A *\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} * A \\[20pt] \\ \text{Sei A =}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \)
\( \text{"=>"} \\ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} *0 + a_{12}*0 & a_{11} *0 + a_{12}*0 \\ a_{21}*0 + a_{22}*0 & a_{21}*0 + a_{22}*0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \checkmark \)
\( \text{ "<="} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0*a_{11}+0*a_{21} & 0* a_{12}+ 0*a_{22} \\ 0*a_{11}+0*a_{21} & 0* a_{12}+ 0*a_{22} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \checkmark \)
\( \Longrightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in U \)
\( \text{(ii) Zu zeigen U abgeschlossen bezüglich Addition: \)
\( \text{Sei } C,D \in U \\ \text{(1)} \\ A(C+D) = AC + AD \\ \text{(2)} \\ (C+D)A = CA + DA \\ \text{ Aus (1) und (2) } \Longrightarrow (AC = CA) \land (AD =DA) \Longrightarrow AC + AD = CA + DA \\ \Longrightarrow (C+D)\in U \checkmark \\[30pt] \\ \text{(iii) Zu zeigen U abgeschlossen bezüglich skalarmultiplikation: } \\ \text{Sei }\lambda \in \mathbb{R}, C \in U \\ \text{"=>"} \\ A(\lambda * C) = \lambda (AC) \\ \text{ "<="} \\ (C*\lambda)*A = \lambda(CA) \\ \Longrightarrow (\lambda * C)\in U \checkmark \)
\( \text{ Aus (i),(ii) \& (iii)} \Longrightarrow \text{U ist ein UV von } \mathbb{R}^{2x2} \)
(b)
\( \text{ Sei } B \in U \land \{B=\begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{pmatrix}:AB=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \} \\[25pt] \\\text{ "=>"} \\\begin{pmatrix} 0*b_1 +1*b_3 & 0*b_2 +1*b_4 \\ 2*b_1+1*b_3 & 2*b_2 +1*b_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_3 & b_4 \\ 2b_1+b_3 & 2b_2+b_4 \end{pmatrix}\\[15pt] \\\text{ "<="} \\\begin{pmatrix} b_1*0 +b_2*2 & b_1+b_2 \\ b_3*0+b_4*2 & b_3 +b_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2b_2 & b_1+b_2 \\ 2b_4 & b_3+b_4 \end{pmatrix} \\[25pt] \\\text{LGS:} \\I. (b_3 = 2b_2) \longrightarrow (b_3 -2b_2 = 0) \longrightarrow (b_3 -2b_2=0) \\II. (b_4 = b_1 + b_2) \longrightarrow (b_4-(b_1 +b_2)=0) \longrightarrow (b_4 -b_1 -b_3 =0) \\III. (2b_1 +b_3 = 2b_4) \longrightarrow (2b_1 +b_3 -2b_4 = 0) \longrightarrow (2b_1 + b_3 -2b_4 = 0) \\IV. (2b_2 + b_4 = b_3 +b_4) \longrightarrow (2b_2 + b_4 -b_3 -b_4 = 0) \longrightarrow (2b_2 -b_3 = 0) \\[10pt] \\\Longrightarrow I = IV \\ I. (b_3 = 2b_2) \\II. (b_4 -b_1 -2b_2 = 0) \longrightarrow (b_4 = b_1 + 2b_2) \\III. (2b_1 - 2b_2 -2b_4 = 0) : 2 \longrightarrow (b_1 -b_2 -b_4 = 0)\longrightarrow (b_1 -b_2 -b_1 -2b_2 = 0)\longrightarrow (-3b_2 = 0) \\[10pt] \\IV. (-3b_2 = 0)\Longrightarrow (b_2 = 0) \Longrightarrow (b_3 = 0) \\ \Longrightarrow III. (2b_1 -2b_4 = 0):2 \longrightarrow b_1 = b_4 \\[20pt] \\\text{ Sei }s\in \mathbb{R} \land s = b_1 \\\Longrightarrow s= b_4 \\\text{Aus } s = b_1,b_4 \land b_2,b_3 = 0 \Longrightarrow \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix} \\\Longrightarrow U := \{\begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{2x2}: s \in \mathbb{R}\} \Longleftrightarrow U := \{s*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{2x2}: s \in \mathbb{R}\} \\\Longrightarrow \text{Basis von }U = span\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\}\)
Nachtrag:
Zur Basis: Es ist nur Logisch, dass B = E sein muss, da im allgemeinen für Matrizen gilt: AB != BA
