Lineare Algebra - Bestimme die Basis des Durchschnitts der Unterräumen V und U in R^(3). Wie ?

Question

Aufgabe

Gegeben seien die Unterräume 

V = ⟨ \( \begin{pmatrix} 0\\1\\-2 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) ⟩
U = ⟨ \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} \) ⟩

von ℝ³. 

Bestimmen Sie die Basis des Durchschnitts V∩U.

Idee
Ich bestimme die Basis einer Matrize indem ich das Gaussverfahren auf die Matrize anwende und sie so in Zeilenstufenform bringe.

Das Problem ist aber, dass ich nicht weiss wie man den Durchschnitt dieser beiden Unterräume bildet, ich nehme an, dass mir der Durchschnitt V∩U Zahlen oder Vektoren liefert die sich dann in eine Matrix umschreiben lassen und so wäre mein Ansatz. 

Lineare Hülle
Das weitere Problem ist, dass V und U als lienare Hüllen gegeben sind, und deren die beiden Vektoren in V sind zueinander linear unabhängig. Auch die beiden Vektoren in U sind zueinander linear unabhängig. (Falls ich mich nicht verrechnet habe. 

Da die Lineare Hülle die Menge aller Linearkombinationen beschreibt, erhalte ich für V eine Menge:

V = { v in V I a*\( \begin{pmatrix} 0\\1\\-2 \end{pmatrix} \) + b*\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) }

U = { u in U I c*\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \) + d*\( \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} \) }

Ausgewertet ergäbe das: 

V = {\( \begin{pmatrix} b\\a\\-2a \end{pmatrix} \), wobei a,b reelle Zahlen sind. }

U = {\( \begin{pmatrix} c+d\\-c-2d\\d \end{pmatrix} \), wobei c,d reelle Zahlen sind. }

Zum Schluss
Jetzt habe ich zwei Vektoren, jeder dieser Vektoren beschreibt eine Menge, wie kriege ich nun den Durchschnitt, weil dann, könnte ich eben per Gauss die Vektoren in Zeilenstufenform bringen und so die Basis des Durchschnitts kriegen ? 

Answer 1

So weit so gut...

Den Schnitt der Vektorräume erhältst Du wie üblich durch Gleichsetzen

U'=u1 (1, -1, 0) + u2 (1, -2, 1)

V'=v1 (0, 1, -2) + v2 (1, 0, 0)

U'=V' ===> U' - V'=0

ich hab mir erlaubt das aweng zu sortieren

\(\left(\begin{array}{rrrr}1&1&1&0\\0&-1&-2&1\\0&0&1&-2\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}v2\\u1\\u2\\v1\\\end{array}\right)=0\)

Jetzt Gauss zur Treppenstufenform

===>(*): \( \left\{ v1 = -\frac{1}{3} \; u1, v2 = -\frac{1}{3} \; u1, u2 = -\frac{2}{3} \; u1 \right\}   \)

z.B. (*) in U': V ∩ U = \(\left(\frac{1}{3} \; u1, \frac{1}{3} \; u1, -\frac{2}{3} \; u1 \right)\)

geht das klar?

Comments

Ich rechne es nach... wobei ich schon jetzt sagen kann, dass es mich verwirrt, dass du, eine komische Reihenfolge in der Matrize hast und ich nicht einsehe wieso. 

v2 u1 u2 v1 

ich habe 

v1 v2 u1 u2 gewählt und mache dann die ZSF


2. Frage

Hast du die Lösung parametrisiert ? Es sind ja drei Gleichungen und vier unbekannte

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Die Reihenfolge macht eine Dreiecksmatrix - sind weniger Umformungsschritte. Du kannst latürnich streng nach Vorschrift arbeiten - kein Problem, wenn wir uns unten treffen ;-).

Macht ein geometrisches Bild Sinn;? Du hast zwei (Ursprungs)Ebenen, die sich schneiden, was erhältst Du dann ===> eine Gerade, richtig ==> es muss ein Parameter für die Gerade übrig bleiben...

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Ich muss lernen wie man sauber parametrisiert, ich glaube das ist ein Problem.

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Hm,

welchen Schritt meinst Du mit "parametrisieren"?

Ich könnte Dir ein paar Hinweise zu GeoGebra CAS geben - damit kann ganz gut seine eigenen Rechenschritte kontrollieren...

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Oh ja wäre nett. :-)

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Ich fang mal mit dem GaussAlg an, ok?

https://www.geogebra.org/cas

Matrix A anlegen mit den Spalten V, U
(ich schreib die Vektoren zeilenweise und drehe dann, Transponieren)

A:=transpose({{0,1,-2},{1,0,0}, {1,-1,0},{1,-2,1}})

\(A \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}0&1&1&1\\1&0&-1&-2\\-2&0&0&1\\\end{array}\right)\)

Fertig bist Du gleich mit

T:=Treppennormalform(A)

\(T:=\left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&-\frac{1}{2}\\0&1&0&-\frac{1}{2}\\0&0&1&\frac{3}{2}\\\end{array}\right)\)

u2 in der letzten Spalte bietet sich als Parameter an

(Ich hatte oben v1 in der letzten Spalte als Parameter bekommen)

Wie machen wir weiter?

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Die Vektoren in T sind in der Reihenfolge: v1, v2, u1, u2.

Von ganz unten nach oben fangen wir an die Matrix auszuwerten:

unterste Gleichung (iii) 
u1 + 3/2*u2 = 0 | u2 = lambda 
⇒ u1 = -3/2*λ

mittlere Gleichung (ii) 
v2 -1/2*λ = 0
⇒ v2 = 1/2*λ

oberste Gleichung (i)
v1 -1/2*λ = 0
⇒v1 = 1/2*λ

Ich hoffe ich habe das jetzt richtig gemacht, die Idee ist einen der vier Parameter „in terms of“ Lambda auszudrücken, dann jede andere Variable auch in Abhängigkeit von Lambda auszusrücken.

Lösung:
( 1/2*λ, 1/2*λ, -3/2*λ, λ)= λ*(1/2, 1/2, -3/2, 1)
Aber was nun ? Ist das also die Basis ?

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Einen kleinen Knoten hast Du drin, sonst ist alles gut:

Wir entscheiden uns für EINEN Parameter \(\lambda\) pro Unterraum

Also entwerder (iii) dann u2=λ ===> u1 = -3/2*λ 

U∩V:= -3/2 \(\lambda\) {1,-1,0}+ \(\lambda\) {1,-2,1} 

XODER

(ii) dann v1=1/2λ ===> v2 = 1/2λ

U∩V:= 1/2λ {1,0,0} +1/2*λ {0,1,-2}

in beiden Fällen sollte das gleiche rauskommen (Hoffentlich ;-)

in ganzzahliger Ausführung

U∩V: \( X= \lambda \left( \begin{array}{r}1\\1\\ -2\\ \end{array} \right) \)

Mein Ergebnis von oben hat damit auch Bestand;-)