Question

Man beweise oder widerlege:

a) x↦√x ist im Intervall [0,1) gleichmäßig stetig.

b) Jede Lipschitz-stetige Funktion ist stetig; jede Lipschitz-stetige Funktion ist gleichmäßig stetig.

c) Für f :ℝ→ℝ gelte |f(x)−f(y)|≤|x−y|² für alle x,y ∈ ℝ. Dann ist f´(x) = 0 für alle x ∈ℝ

d) Sei g :ℝ→ℝ in Cⁿ und h : ℝ→ℝ in Cⁿ⁻¹. Dann ist g◦h :ℝ→ℝ in Cⁿ.

zu a c und d wüsste ich nicht wie ich das mache

zu b)  Sei ∅ 6= D ⊆ ℂund f: D → ℂ. Es sei L ≥ 0. Sei f Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L, d.h., es gelte ∀x,y ∈D : |f(x)−f(y)|≤L|x−y|. Sei ohne Einschränkung L > 0 (ist nämlich f Lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante 0, dann ist f konstant und somit trivialerweise gleichmäßig stetig). Wir zeigen nun, dass f gleichmäßig stetig ist, das heiß ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x,y ∈D : |x−y|≤δ ⇒ |f(x)−f(y)|< ε. Sei also ε > 0. Setze δ := ε/L. Seien x,y ∈ D mit |x−y|≤ δ. Zu zeigen ist nun |f(x)−f(y)|≤ε. Es gilt |f(x)−f(y)| Lipschitz ≤ L|x−y|≤Lδ = Lε/L = ε.

Comments

Beachte auch die Rubrik "ähnliche Fragen". Vielleicht hilft dir bei einer der Teilaufgaben z.B. https://www.mathelounge.de/74937/lipschitz-holder-%26-gleichmassige-stetigkeit

---

kann mir jemand ein bsp zu c und d geben?

Answer 1

zu a) hätte ich was:

stimmt !   Denn es gilt        ##  für alle x,y aus [0,1).  

Also wenn eps > 0 vorgegeben ist, dann gilt mit  Delta=eps²

| x - y | < Delta 

| x - y | < eps²
√| x - y | < eps        
also  wegen  ## auch

| √x - √y |  < eps.   Also gibt es ein nicht von

x und y abhängendes Delta mit  

|x-y| < Delta  ==>   | f(x) - f(y) | < eps.   q.e.d.

Und ## beweist man leicht durch

Sei y ≥ x ≥ 0     (einer muss ja ≥ dem anderen sein, das ist dann eben y)

==>    √y  ≥ √x ≥ 0    | *-2 √x

==>    -2√(xy)  ≤   -2x      |  +x+y


==>  x  -2√(xy)  + y   ≤   y  - x

==> ( √x  -√y )²   ≤   y  - x

==> | √x  -√y |   ≤ √ | y  - x | =  √ | x - y   |    q.e.d.