f:R->R, f(x+y) = f(x) + f(y). Zeige: f(n*x) = n*f(x) wobei n aus N

Question

Gegeben:

f: R -> R

f(x + y) = f(x) + f(y)   wobei x,y aus R

Man soll zeigen:

f(n*x) = n * f(x)   wobei n aus N

Meine Idee:

f(n * x) = f(x+x+...+x) = f(x + y)  = f(x) + f(y) = f(x) + f(x+...+x) = f(x) + f(x) +...+ f(x) = n * f(x)

wäre das im Ansatz in Ordnung?

Comments

Sieht gut aus. Falls bei euch nötig, kannst du anstelle der vielen Punkte einen Induktionsbeweis machen.

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Und wie zeige ich jetzt, dass

 f ist genau dann stetig auf R, wenn f in einem Punkt z aus R stetig ist?

Wie kann f auf ganz R stetig sein, wenn wir nur zeigen, dass f in einem Punkt aus R stetig ist?

Answer 1

Hallo fennek,

wie Lu schon schrieb ist deine Idee richtig. Man kann das "unbemeckerbar" hinschreiben:

Du sollst zeigen, dass für alle n∈ℕ   folgende Aussage gilt:

A(n):   f(n*x) = n * f(x)  

Das macht man am einfachsten mit vollständiger Induktion:

1)   A(1):    f(1*x) = 1 * f(x)  ist offensichtlich wahr 

2)   A(n) → A(n+1):      [ Induktionsvoraussetzung IV ]

Es gilt:

f( (n+1) * x) = f( n*x + x ) =_{f linear}  f(n*x) + f(x) =_IV = n * f(x) + f(x) = (n+1) * f(x) 

Gruß Wolfgang