Hi,
Du kannst das Problem auch mittels Lagrange Methode lösen. Das andere ist er intuitiv und kein Beweis.
Die Wahrscheinlichkeit \( P = 90 \% \) berechnet sich aus der Verteilungsfunktion der Normalverteilung zu
$$ (1) \quad P = F_{\mu,\sigma}(b) - F_{\mu,\sigma}(a) $$ mit
$$ (2) \quad F_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x f_{\mu,\sigma}(s) \ ds $$ und
$$ (3) \quad f_{\mu,\sigma}(s) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{s-\mu}{\sigma} \right)^2} $$
Die Lagrangefunktion lautet also
$$ L(a,b,\lambda) = b-a +\lambda \left( F_{\mu,\sigma}(b) - F_{\mu,\sigma}(a) - P \right) $$
Die Werte für \( a \) und \( b \) berechnen sich jetzt aus den partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion, also
$$ (4) \quad L_a(a,b,\lambda) = -1 - \lambda f_{\mu,\sigma}(a) = 0 $$
$$ (5) \quad L_b(a,b,\lambda) = \ \ \ \ 1 + \lambda f_{\mu,\sigma}(b) = 0 $$
Aus (4) und (5) folgt
$$ (6) \quad f_{\mu,\sigma}(a) = f_{\mu,\sigma}(b) $$ und mit (3) ergibt sich
$$ (7) \quad (a - \mu)^2 = (b - \mu)^2 $$ also
$$ (8) \quad a + b = 2 \mu $$
D.h. der Erwartungswert liegt in der Mitte zwischen den Punkten \( a \) und \( b \)
Wenn also \( a = \mu - \epsilon \) gilt, folgt \( b = \mu + \epsilon \)
Damit ergibt sich folgende Gleichung für \( \epsilon \)
$$ (9) \quad P = F_{\mu,\sigma}(\mu + \epsilon) - F_{\mu,\sigma}(\mu - \epsilon) = \Phi\left( \frac{\epsilon}{\sigma} \right) - \Phi\left( -\frac{\epsilon}{\sigma} \right) = 2 \Phi\left( \frac{\epsilon}{\sigma} \right) - 1 $$
Also
$$ (10) \quad \Phi\left( \frac{\epsilon}{\sigma} \right) = \frac{1 + P}{2} $$
Wenn \( \Phi(x) \) die Standardnormalverteilungsfunktion ist.
Die Werte für \( \Phi(x) \) sind tabelliert,
s. https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung
und damit kann man \( \epsilon \) auslesen.
