\(f(x) = g(x)\)
\(\frac{1}{4}(x^3 - 14x^2 + 53x - 40) = - x + 8\)
\(x^3 - 14x^2 + 57x - 72 = 0\)
Teiler von \(72 \) sind \( (±72,±36,±18,±9,±8,±4,±2,±1)\)
Durch Einsetzen in kommt \(x^3 - 14x^2 + 57x - 72 = 0\) man auf eine Lösung.
Danach Polynomdivision.
Hier kommt man ganz schnell auf eine Lösung: Das klappt dann, wenn ein Maximum oder Minimum auch eine Nullstelle ist.
\(f(x)=x^3 - 14x^2 + 57x - 72\)
\(f'(x)=3x^2 - 28x + 57\)
\(3x^2 - 28x + 57=0|:3\)
\(x^2 - \frac{28}{3}x =-19\) quadratische Ergänzung:
\(x^2 - \frac{28}{3}x+(\frac{14}{3} )^2=-19+(\frac{14}{3} )^2\) 2. Binom:
\((x - \frac{14}{3} )^2=-19+(\frac{14}{3} )^2=-\frac{171}{9}+\frac{196}{9}=\frac{25}{9} |±\sqrt{~~}\)
1.)
\(x - \frac{14}{3} =\frac{5}{3} \)
\(x_1 =\frac{19}{3} \)
2.)
\(x - \frac{14}{3} =-\frac{5}{3} \)
\(x_2 =3 \) Hier ist eine doppelte Nullstelle
Polynomdivision mit \((x-3)^2=x^2-6x+9\)
\((x^3 - 14x^2 + 57x - 72):(x^2-6x+9)=x-8\)
Weitere Nullstelle bei \(x=8\) Diese Verfahren klappt leider nicht immer.
Oftmals sind auch bei einer Kurvendiskussion auch die Extremstellen gefordert. Da ist es dann nicht angebracht, unnötige Zeit bei der Nullstellensuche zu verbringen.
Die Schnittstellen sind nun bei \(x=3\) und bei \(x=8\)
