Frage zur Lösung der Differentialgleichung c´= k(57-c) , c(0)=10

Question

folgende aufgabe ist gegeben, ich verstehe nicht wie man auf der Gleichung kommt.

Durch die Zellmembran hindurch finet die Diffusion einer gelösten Substanz statt. Es sei c(t) die Konzentration der Substanz im Inneren der Zelle zum Zeitpunkt t>= 0 und die Sättigungskurve  sei c_s = 57mMol/l. Anfänglich sei c(0)=10mMol/l, un die Geschwindigkeit der Diffusion sei proportional zum Konzentrationsgefälle aus Sättigungskurve und aktueller Konzentartion.

Stelle eine Differentialgleichung auf für c und löse sie, die lösung enthält genau eine unbekannte k.

in den Lösung.

c´= k(57-c)   c(0)=10

1. Wie kommt man auf c´= k(57-c)  

dann habe ich versucht das DGL zu lösen.

- ln (57-c) = kt+ C

....

c(t) = C * e^{-kt} +57

AWP-> c(t) = -47*e^(-kt) +57

EDIT: Gemeint ist c(t) = -47*e^{-kt} + 57

2. ich habe es mit der lösung verglichen aber da stand s.o ein minus vor ln(57 -c) und auch im exponent e^{-kt} aber warum? woher kommt das negative Vorzeichen?

Danke:))

Comments

EDIT: Irgendetwas stimmt bei der Caret-Umwandlung von AWP nicht.

Klammerung und 57 im Exponenten oder nicht?

c(t) = C * e^-kt +57

AWP-> c(t) = -47*e^{-kt) +57}

Das ist nicht hier wo du eine Frage zum Minus hast ?

Was genau ist deine DGL?

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Ja sorry das c(t) = C * e^-kt +57 stimmt, die 57 steht nicht im exponent

meine frage ist wie man auf diese gleichung kommt also c´= k(57-c)  

und warum die beiden negativen vorzechen auftauchen

das AWP habe ich nur der vollständigkeitshalber aufgeschrieben

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EDIT: Kann sein, dass es an der Farbe von deinem Minus lag. Ich habe es jetzt mal schwarz gemacht; aber die Caret-Umwandlung arbeitet so gar nicht.

Diffusion heisst, dass die Konzentration abnimmt. Oder?

Da kann man entweder von c(t) = a*e^{kt}   mit negativem k oder von c(t) = a*e^{-kt} mit positivem k ausgehen.

Beachte auch, dass die Logarithmengesetze dafür sorgen, dass die gleiche Funktion unterschiedlich aussehen kann. Bsp:

ln(1/b) = ln(b^{-1}) = -1*ln(b) = -ln(b)

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jaa, ber warum steht denn von dem natürlichen logarithmus ein minus?

Answer 1

Hi,

die Dgl. kann man durch trennen der Variablen lösen und kommt damit auf

$$ \int \frac{dc}{57-c} = \int k \cdot t \ dt = k \cdot t + \ln(C) $$
Das erste Integral kann man mit der Substitution \( z = 57 - c \) lösen. Es folgt
\( dz = -dc \) Damit ergibt sich
$$ -\ln(57 - c) = k \cdot t + \ln(C) $$ Also
$$ 57 - c(t) = C' \cdot e^{-k \cdot t } $$ und damit
$$ c(t) = 57 - C' \cdot e^{-k \cdot t} $$
Aus \( c(0) = 10 = 57 - C' \) folgt \( C' = 47 \) Insgesamt also
$$ c(t) = 57 - 47 \cdot e^{-k \cdot t}  $$

Comments

danke!!

also wenn man das integral löst erhält man -ln (57-c) ich habe ja das integral gelöst und hatte das minus davor nicht gesetzt gehabt.

könntestdu mir sagen wie man anhand der information der aufgabe man auf dieses dgl schließen kann c´= k(57-c) ? mir war diese gleichung nicht gegeben und ich sollte selbst drauf kommen.

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Die Geschwindigkeit entspricht der ersten Ableitung. Der Proportionalitätsfaktor ist \( k \) und die Geschwindigkeit soll proportional zum Konzentrationsgefälle aus Sättigungskurve und aktueller Konzentartion sein, dass heist proportional zu \( 57 - c(t)  \)

Damit ergibt sich die Dgl.