Wie hoch ist die CO-Konzentration t Minuten nach Beginn des Raucherabends?

Question

Vier Raucher sitzen in einem Raum und spielen Doppelkopf. Das Zimmer enthalte V Liter Luft. Die Raucher stoßen je Minute k Liter Zigarettenqualm aus, der c = 0.04, also 4 Volumenprozent Kohlenmonoxid (CO) enthalte und sich sofort mit der Zimmerluft gleichmäßig vermischt.
Bezeichne y(t) die Volumenmenge an Kohlenmonoxid in der Zimmerluft.
Durch einen Ventilator fließen im gleichen Zeitraum k Liter Luft mit der jeweiligen CO-Konzentration y(t)/V ab.
Es gilt also y`=kc-k(y/v)

• Wie hoch ist t Minuten nach Beginn des Raucherabends (y(0) = 0) die CO-Konzentration im Raum ?
• Nach welcher Zeit T wird eine CO-Konzentration von 0.012 Prozent erreicht ? (Wird ein Mensch zu lange dieser Konzentration ausgesetzt, treten Schädigungen ein.)
• Sei V = 40 m 3 = 40 000 l und k = 2 t/min
Berechnen Sie T.

Comments

http://www.math.uni-frankfurt.de/~pbauer/mfn/aufg09.pdf

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Schau mal ob

y(t) = v/25·(1 - e^{- k/v·t})

den Anforderungen genügt. Ausgerechnet mit Wolframalpha. Dort kann man sich meist auch eine Schritt für Schritt Lösung ansehen.

Answer 1

Da dies eine einfache lineare Diffgleichung erster Ordnung ist würde ich den Ansatz verwenden.

y=yh+yp

yh: verwende den ansatz yh=c*exp(a*t)

eingesetzt gibt es a=-k/v

also yh= c*exp(-k/v*t)

yp verwende, dass k*c konstant ist => yp= v*c, da yp' = null und folglich y' + k* (v*c)/v=k*c  äquivalent zu

k*c=k*c ist, was trivialerweise wahr ist.

=> dein gesuchtes y ist y= c*exp(-k/v*t) + v*c

für c brauchst du dann noch anfangsbedingungen, die du hier sehr wahrscheinlich als y(0) = 0

annehmen kannst da zum Zeitpunkt null der erste an seinem Glimmstängel zu nuckeln beginnt und keine Abgase ins Zimmer gelangt sind.

=> y(0)= c+ v*c =0 => c= -v*c

also y= -v*c*exp(-k/v*t) + v*c= v*c*(1-exp(-k/v*t))

wie du siehst hat also wolfram alpha mal wieder recht :)