Fehler finden bei partieller Integration von f(x)= sin^5(x) * cos(x)

Question

Wo liegt mein Fehler bei folgender Integration ?
f(x) = sin$^5$(x)cos(x)\\ \\F(x) = sin(x)*sin$^5$(x)-$\int 5*\text{sin}^{4}\text{(x)}*\text{cos(x)}*\text{sin(x)}$ \\ \\F(x) = sin(x)*sin$^5$(x)-$\int -5*\text{sin}^{5}\text{(x)}*\text{cos(x)}$ \\ \\F(x) = sin(x)*sin$^5$(x)+5$\int \text{sin}^{5}\text{(x)}*\text{cos(x)}$ \\ \\F(x) = sin(x)*sin$^5$(x) + 5F(x)\\ \\

F(x) = -$\dfrac{1}{4}*$sin$^6$(x)

Ich erkenne hier müsste eigentlich + 1/6 stehen anstatt - 1/4 aber ich finde meinen Fehler nicht

Comments

Hi, ist das gemeint?

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Wo liegt mein Fehler bei folgender Integration?

$$  f(x) = \sin^5(x) \cdot \cos(x)\\ \\F(x) = \sin(x) \cdot \sin^5(x) - \int 5 \cdot \sin^4(x) \cdot \cos(x) \cdot \sin(x) \\ \\F(x) = \sin(x) \cdot \sin^5(x) - \int -5 \cdot \sin^5(x) \cdot \cos(x) \\ \\F(x) = \sin(x) \cdot \sin^5(x) + 5\int \sin^5(x) \cdot \cos(x) \\ \\F(x) = \sin(x) \cdot \sin^5(x) + 5F(x)\\ $$

$$ F(x) = -\dfrac{1}{4} \cdot \sin^6(x) $$

Ich erkenne hier müsste eigentlich + 1/6 stehen anstatt - 1/4 aber ich finde meinen Fehler nicht

Answer 1

Hi,

Von der zweiten auf die dritte Zeile hast Du auf einmal ein Minus zu viel. Lass das wie es war und es passt.

Übrigens wäre eine Substitution mit sin(x) = u wohl einfacher gewesen? ;)

Am Ende noch ein +c setzen ;)

Grüße

Comments

Warum zu viel ? Ist denn nicht die Ableitung von cos(x) die Funktion -sin(x)

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Von der 2. zur 3. Zeile wird weder integriert noch abgeleitet. Die Faktoren werden lediglich neu angeordnet.

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Ich verstehe schon, dass nicht integriert wird, jedoch müsste es eigentlich, doch auch schon negativ sein, da die Ableitung von cos(x) ja -sin(x) ist und damit wäre das - vor der 5 gerechtfertigt

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In der zweiten Zeile hast Du richtig gerechnet. Das Minus vorne kommt aus der Formel. Dann hast Du zusammengefasst und auf einmal nen neues Minus mit dabei?! Das passt nicht ;).

Answer 2

habs auch mal gerechnet , vielleicht hilft es weiter.(wenn Du es so machen willst oder muß)