Wenn der Kern trivial ist, bilden lin. unabh. Vektoren wieder auf lin. unabh. Vektoren ab.

Question

Hi, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei F: V → W eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen V und W.

a) Zeigen Sie: Wenn der Kern von F trivial ist, bilden linear unabhängige Vektoren v₁,...,v_m ∈ V unter F wieder auf linear unabhängige Vektoren F(v₁),...,F(v_m) ∈ W ab.

b) Gilt dies auch wenn der Kern nicht trivial ist? Beweisen Sie dies oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.

Comments

Soll man den Dimensionssatz voraussetzen?

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Hi, ja, der Dimensionssatz darf benutzt werden.

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Ok, dann kann ich dir leider nicht mehr weiterhelfen, weil ich nicht mehr weiß, wie der Dimensionssatz genau lautete...

Answer 1

a) Zeigen Sie: Wenn der Kern von F trivial ist, bilden linear unabhängige Vektoren v₁,...,v_m ∈ V unter F wieder auf linear unabhängige Vektoren F(v₁),...,F(v_m) ∈ W ab.


Sei der Kern trivial und  U = < v₁,...,v_m  > die lineare Hülle der lin. unabh. Vektoren v₁,...,v_m .

Sei g die Einschränkung von f   auf U , dann ist dim(U) = m  (wegen der lin. Unabh. der v_i )

und Bild (g) = < F(v₁),...,F(v_m) > die lin. Hülle der Bilder der v_i .


Und   dim (Kern(g))  = 0  wegen:  triv. Kern.

Nach dem Dim-Satz ist   dim (U) = dim (Kern(g)) + dim Bild(g) hier also

                                             m   =         0          + dim Bild(g)

also  dim Bild(g)  = m und da Bild(g) von den m Vektoren  F(v₁),...,F(v_m)

erzeugt wird, sind diese lin. unabh.

b) Gilt dies auch wenn der Kern nicht trivial ist? Beweisen Sie dies oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.gilt nicht Betrachte lin. Abb mit der Matrix


1     0     0
0     1     0 
0     0     0

Bildet die lin. unabh. Vektoren

0
0
1

und

1
0
0

ab auf 

0
0
0

und

1
0
0

Die sind lin. abh.

Und der Kern ist  < ( 0 ; 0 ; 1 ) T > also nicht trivial.