Menge der Vektoren lin.unabh.?

Question

Hallo :)

Ich hänge an einer Beweis Aufgabe fest und habe leider keinen richtigen Ansatz.

Die Aufgabe lautet:

Die Matrix A ∈ R^nxn besitze die m verschiedenen Eigenwerte λ₁,...,λ_m ∈ C. Ferner sei für alle 1 ≤ i ≤ m der Vektor x_i ∈ Cⁿ ein Eigenvektor zum Eigenwert λ_i. Zeigen Sie, dass die Menge der Vektoren:  {x_i} _{1 ≤ i ≤ m} linear unabhängig ist.

Also ich verstehe nicht genau, wie ich das zeigen soll. Und hoffe, dass mir jemand schritt für schritt sagen kann wie das verstehen und zeigen kann.

Ich hoffe auf Hilfe und bedanke mich im Voraus. :)

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass du weisst das Eigenvektoren und Eigenwerte sind.

Du hast viele verschiedene Eigenwerte, z.B. 1,2,3,4

Dann wird aus 1,2,3,...,m die Eigenvektoren gebildeten was z.B.

EV1: \( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \)

EV2: \( \begin{pmatrix} 4\\5\\6 \end{pmatrix} \)

EV3: \( \begin{pmatrix} 7\\8\\9 \end{pmatrix} \)

...

EVi: blablabla

Du musst nun zeigen, dass EV1, EV2, EV3 etc. linear unabh. Vektoren sind. Entweder habt ihr das in einer Vorlesung/Klasse gesehen oder du schaust die Online die Beziehung zwischen Eigenvektoren und lineare Unabhängigkeit an.

Viel Erfolg

Comments

Ja also ich weiß auch, dass die linear unabhängig sind, wenn man 0 rausbekommt, nach einem LGS der Vektoren, aber wie kann ich das im allgemeinen zeigen? Oder würde es ausreichen wenn ich das anhand eines Beispiels zeige ?

Danke :)