Aufgabe: $$\begin{array}{l}{\text { Zeige: Für jedes Erzeugendensystem } E \text { eines Vektorraums } V \text { und jede linear un- }} \\ {\text { abhängige Teilmenge } L \text { von } V \text { gilt }} \\ {\qquad|L| \leqslant|E|}\end{array}$$
Mein Weg:
Was wissen wir über den Vektorraum V?
Also V hat eine Base B.
Und habe die Base beliebig viel Elemente, sagen wir n. So gilt, $$ |B| = n. $$
Lin. Unabh. Teilmengen L können weniger oder gleich viele Elemente wie B haben:
Dann weiss ich, dass linear unabhängige Teilmengen L von V auch weniger Elemente als eine Basis B hat haben kann.
Aber die linearunabhängige Teilmengen können auch gleich viele Elemente wie B haben. Aber linear Unabhängige Teilmengen können nicht mehr Elemente als eine Basis B von V haben.
Also gilt hier: $$ L ⊂ B \quad\text{und}\quad L = B \quad ⇒ L ⊆ B. $$
Ein Erzeugendensystem E hat gleich viele oder mehr Elemente als B:
Ein Erzeigendensystem E von einem Vektorraum V hann entweder gleichviele Elemente wie B haben, denn dann wird V immernoch erzeugt oder E kann auch mehr Elemente als B haben, denn auch so wird V erzeugt. Also gilt hier:$$B ⊂ E \quad \text{und} \quad B=E \quad ⇒ B⊆E. $$
Wir erhalten also folgendes: $$L ⊆ B ∧ B⊆E ⇒ L⊆B⊆E ⇒ L⊆E ⇒ |L| ≤ |E| ,$$was zu zeigen war.
Frage:
Ist das eine korrekte Argumentation ?
