Wenn (v,w,x,y) eine Basis von V ist, .. Erzeugendensystem?

Question

ggb : v,w,x,y sind ein K- Vektorraum

Wenn (v,w,x,y) eine Basis von V ist, dann ist (v-w-x, 2v-w-x, 2v-2w-x) eine Basis von V.

muss man dies beweisen oder widerlegen.

So zum Beweis für Basis muss man Untervektorraum und Erzeugendensystem prüfen.

1. Linear unab

wenn v,w,x,y unabhangig ist , für beliebige a,b,c,d sind R mit a*v+b*w+c*x+d*y=0 gilt :

a,b,c,d=0

nun prufen, ob (v-w-x, 2v-w-x, 2v-2w-x) auch linear unab.

Annahme : Ja linear unab, weil kann man so definierern und ausmultiplizieren:

a(v-w-x)+b(2v-w-x)+c(2v-2w-x)=0  ,mit a,b,c=0.

ausmultiplizieren : (a+2b+2c)v+(-a-b-2c)w+(-a-b-c)x = 0

so dies ist auch linear unab ,da v,w,x nach def schon linear unab.

nun muss noch zeigen  , ob das ist EZS.

wie kann man prufen, ob das ein EZS ist?

helfen bitte

Answer 1

> Wenn (v,w,x,y) eine Basis von V ist, ...

... dann besteht jede Basis von V aus vier Vektoren.

> ... dann ist (v-w-x, 2v-w-x, 2v-2w-x) eine Basis von V.

Kann nicht sein, weil nur drei Vektoren.