Zeige mit vollständiger Induktion: Integral von f(x) = x^n * e^x ergibt Summenformel

Question

Beweisen Sie durch vollständige Induktion:

\(\int x^{n} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x=-\sum_{k=0}^{n} \frac{n !}{k !} x^{k} \mathrm{e}^{-x}+c, \quad \text { für alle } n \in \mathbb{N}_{0}\)

Comments

Was hindert dich daran, das zu versuchen? Das Beweisverfahren ist ja vorgegeben.

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die induktion schritt ist unklar :

Induktion Anfang : für n=0

\( \int \:e^{-x}dx=-e^{-x}+c\:=\:\frac{0!}{0!}x^0e^{-x}+c \)

Induktion Behauptung : für ein n ∈ Ν gelte :

\( \int x^{n} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x=-\sum_{k=0}^{n} \frac{n !}{k !} x^{k} \mathrm{e}^{-x}+c \)

Induktion schritt :

\( \int \:x^{n+1}e^{-x}dx\:=-x^{n+1}e^{-x}+n\int \:x^n.e^{-x} \)

\( \:=-x^{n+1}e^{-x}+n\left(-x^ne^{-x}-n\int \:x^{n-1}e^{-x}\right) \)

und das geht unendlich weiter ....

Answer 1

Aloha :)

1) Verankerung bei n=0:$$\int x^0e^{-x}\,dx=\int e^{-x}\,dx=-e^{-x}+c_0=-\underbrace{\frac{0!}{0!}x^0}_{=1}e^{-x}+c_0=-\sum\limits_{k=0}^0\frac{0!}{k!}x^ke^{-x}+c_0$$2) Induktionsschrit \(n\to n+1\):

Wir betrachten die Behauptung für den Fall \(n+1\) und führen sie auf den Fall \(n\) zurück. Dafür bietet sich hier die partielle Integration an:$$\int\underbrace{x^{n+1}}_{=:u}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{=:v'}dx=\underbrace{x^{n+1}}_{=u}\cdot(\underbrace{-e^{-x}}_{=v})-\int\underbrace{(n+1)x^n}_{=u'}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{=v}dx$$$$=-x^{n+1}e^{-x}+(n+1)\int x^ne^{-x}dx$$Für das Integral kannst du nun die Induktionsvoraussetzung einsetzen:$$=-x^{n+1}e^{-x}+(n+1)\left[-\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{k!}x^ke^{-x}+c_n\right]$$$$=-\frac{(n+1)!}{(n+1)!}x^{n+1}e^{-x}-\sum\limits_{k=0}^n\frac{(n+1)!}{k!}x^ke^{-x}+\underbrace{(n+1)c_n}_{=:c_{n+1}}$$Der erste Term ist genau derjenige, der in der Summe für (k=n+1) als nächstes folgen würde:$$=-\sum\limits_{k=0}^{n+1}\frac{(n+1)!}{k!}x^ke^{-x}+c_{n+1}$$Das war's schon :)