Partialbruchzerlegung. Wie macht man einen Koeffizientenvergleich? 1/(x^2 - 4)

Question

,

folgende Aufgabe:

$$ Partialbruchzerlegung\quad von\quad \int { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }-4 }  }  $$

Das habe ich bis jetzt gemacht:

$$ \int { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }-4 }  } =\quad [Nennerpotenz>Zählerpotenz(Keine\quad Polynomdivision\quad nötig)]\quad =\frac { 1 }{ (x+2)(x-2) } =\frac { A }{ (x+2) } +\frac { B }{ (x-2) } =\frac { Ax+2A+Bx-2B }{ { (x }^{ 2 }-4) } =\frac { x(A+B)+2A-2B }{ { (x }^{ 2 }-4) } $$

Wie geht es jetzt weiter?

Wie immer ,

euer Zeurex

Answer 1

Hallo zeurex,

wenn du  \(\frac{A}{x+2}\) +  \(\frac{B}{x-2}\)   auf einen Nenner bringst, erhältst du  \(\frac{Ax-2A+Bx+2B}{x^2-4}\)  

=  \(\frac{(A+B)·x + (2B-2A)}{x^2-4}\)  =  \(\frac{1}{x^2-4}\) 

Koeffizientenvergleich bei den x-Potenzen im Zähler:    

A+B = 0     und   2B - 2A = 1              

B = - A  →   - 2A -  2A  = 1      →    A = -1/4  und  B = 1/4  

Dieser    Online-Rechner    gibt für Partialbruchzerlegungen auch den Rechenweg an.

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

danke für deine Antwort.

Wieso ist A+B = 0 und 2B-2A = 1 ?

Gruß,

Zeurex

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Koeffizientenvergleich in den Zählern: 

(A+B) * x  +  2B - 2A   =   1  =  0 * x + 1 

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x*(A+B) = 0 weil ich x=0 setze. okay

Und 2B-2A = 1 weil der Zähler vom Ursprungsbruch = 1 ist?

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> x*(A+B) = 0 weil ich x=0 setze. 

Nein, sondern weil im Zähler des Ursprungsbruchs ( = 0*x+1) der Faktor bei x Null ist

> Und 2B-2A = 1 weil der Zähler vom Ursprungsbruch = 1 ist  

Genauer: 

weil im Zähler des Ursprungsbruchs der konstante Summand = 1 ist 

(Letzterer ist hier zufällig der ganze Zähler)

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Ahhh jetzt habe ich es kapiert.
:)

Eine letzte Frage hätte ich noch:

Wenn der Grad des Zählers >= dem Grad des Nenners ist muss ich eine Polynomdivision machen richtig? Aus dem Rest entsteht dann ja eine echt gebrochen rationale Zahl mit dem ich die Partialbruchzerlegung durchführen kann.

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Genau so ist es :-)

( Du meinst natürlich einen echt gebrochenen rationalen Term )

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Alles klar, ich danke dir vielmals! :)

Answer 2

Ansatz:

1/((x-2)(x+2)= A/(x-2) +B/(x+2) | * ((x-2)(x+2)

1= A(x+2) +(B(x-2)

1= Ax +2A +Bx -2B

1=x(A+B) +2A -2B

x^1 : 0=A+B

x^0:  1=2A -2B

------->

1=4A ->A=1/4

B=-1/4

Comments

@zeurex.

wenn man wie du   A/(x+2) + B/(x-2)    [ und nicht  A/(x-2) +B/(x+2) wie GL ]  ansetzt,

erhält man meine Lösungen  ( A und B vertauscht )