Aloha :)
Bei der Partialbruchzerlegung musst du bei den summierten Brüchen darauf achten, dass der Grad des Zählerpolynoms um 1 kleiner sein muss als der Grad des Nennerpolynoms. Der Ansatz ist hier also:
$$\frac{2x^2+2x+10}{x^3+x^2+4x+4}=\underline{\frac{2x^2+2x+10}{(x+1)(x^2+4)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}}$$
1) Multipliziere die unterstrichene Gleichung mit \((x+1)\) und setze dann \(x=-1\) ein.$$\frac{2x^2+2x+10}{(x^2+4)}=A+\frac{(Bx+C)(x+1)}{x^2+4}\quad\stackrel{(x=-1)}{\implies}\quad A=\frac{2-2+10}{5}=2$$Mit ein bisschen Übung kannst du das im Kopf machen und brauchst gar nicht viel zu schreiben. Ich habe das nur so ausführlich geschrieben, damit das Prinzip klar wird.
2) Multipliziere die letzte Gleichung mit \((x^2+4)\).$$\frac{2x^2+2x+10}{(x+1)}=\frac{2(x^2+4)}{x+1}+Bx+C$$Für \(x=0\) erhalten wir:$$\frac{10}{1}=\frac{8}{1}+C\quad\implies\quad C=2$$Für \(x=1\) erhalten wir:$$\frac{14}{2}=\frac{10}{2}+B+2\quad\implies\quad B=0$$
Damit haben wir die Zerlegung gefunden:$$\frac{2x^2+2x+10}{(x+1)(x^2+4)}=\frac{2}{x+1}+\frac{2}{x^2+4}$$
