Integralrechnung, arctan (x)

Question

Hi, bei einem Teilintegral aus einer Aufgabe komme ich ins grübeln...

das integral lautet: 

 

∫4/(x^2+4) dx

meine umformung ist wie folgt:

4 ∫1/(x^2+4) dx     (4 aus dem integral rausgezogen)

1/4 * 4 ∫ 1 / ((x^2/4)+1    (4 ausgeklammert und aus dem integral herausgezogen)

 ∫1/((x/2)^2+1       x^2/4 umgeschrieben zu (x/2)^2

= arctan (x/2) + C 

die musterlösung und onlinerechner kommen aber auf 2* arctan(x/2) .....

habe ich  einen faktor vergessen ????

Answer 1

du hast gut vorgearbeitet: 

>   ∫  1 / ((x/2)²+1)  dx

Der fehlende Faktor 2 ergibt sich bei der

Substitution  u = x/2   →  du/dx = 1/2  →  dx = 2 du

=   ∫ 1 / (u² + 1) * 2 du   =  2 *  ∫ 1 / (u² + 1) * du  =  2 * arctan(u) + c  

=  2 * arctan( x/2 )  + c 

Gruß Wolfgang