Question

Matrizengleichung X A - C = X B - X lösen. 

Ich Schreibe nächste Woche eine Klausur und habe probleme bei der Matrizengleichung lösen. Also den ersten schritt die anderen schritte verstehe, Nur wenn eine Matrizengleicung gegeben ist weiß ich nicht wie ich sie lösen kann um dann mit der Matrix weiter zu rechen.  wenn mir das jemand für dummies erklären könnte BITTE!!

$$\text{Berechnen Sie die Matrix X aus folgender Matrizengleichung:}\\ $$

$$\underline{X}\text{ }\underline{A}-\underline{C}=\underline{X}\text{ }\underline{B}-\underline{X}$$

$$\begin{array}{l} \\[30pt] {\underline{A}=\left[\begin{array}{lll} {2} & {0} & {2} \\ {0} & {3} & {1} \\ {1} & {1} & {4} \end{array}\right], \quad \underline{B}=\left[\begin{array}{rrr} {2} & {0} & {0} \\ {-2} & {5} & {-2} \\ {-3} & {0} & {-3} \end{array}\right], \underline{C}=\left[\begin{array}{lll} {2} & {2} & {1} \\ {1} & {4} & {0} \\ {3} & {0} & {2} \end{array}\right]} \end{array}$$

 

Answer 1

im Prinzip rechnest Du hier wie mit ganz normalen Gleichungen. Allerdings ist zu beachten, dass ...

1. Dividieren das Multiplizieren mit der Inversen bedeutet.

2. I die 3x3-Einheitsmatrix (Identity-Matrix) ist. Es ist also

$$I =\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$$ Du nimmst nun folgende Umformungen vor:

$$X\cdot A - C = X\cdot B - X\mid\text{ Beidseitige Subtraktion von} X\cdot B$$

$$\Leftrightarrow X\cdot A - C - X\cdot B = - X\mid\text{ Beidseitige Addition von } X \text{ und } C$$

$$\Leftrightarrow X\cdot A  - X\cdot B + X = C\mid X \text{ ausklammern, dabei wird } X \text{ zu } I$$

$$\Leftrightarrow X\cdot (A  - B + I) = C \mid  \text{ Beidseitige Division durch } (A-B+I) \text{, also beidseitiges Multiplizieren mit der Inversen } (A-B+I)^{-1}$$ $$\Leftrightarrow X\cdot \underbrace{(A  - B + I)\cdot (A-B+I)^{-1}}_{= I} = C\cdot (A-B+I)^{-1} $$ Nun setzt Du die gegebenen Anfangswerte ein und erhältst: $$\left(\begin{matrix} 2 & 2 & 1\\ 1& 4& 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix}\right)\cdot\left[\left(\begin{matrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix}\right)- \left(\begin{matrix} 2& 0 & 0 \\ -2 & 5 & -2 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)\right] ^{-1}$$ Als Ergebnis kommt raus: $$\left(\begin{matrix} -24 & 3 & 5 \\ -27 & 2 & 6 \\ -21 & 4 & 4 \end{matrix}\right)$$

Ich hoffe, dass ich Dir damit weiterhelfen konnte. Stelle gerne Rückfragen, wenn etwas unklar sein sollte!

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André, savest8

Comments

Okay Danke mir wurde immer gesagt, dass ich darauf achten soll ob das X links oder rechts steht. also muss ich das immer so umformen, dass alle mit einem X auf einer seite sind?

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@tito1995 : Die fragliche Matrix heisst hier (A-B+I) und nicht X.  Du musst darauf achten, dass (bei Multiplikation) eine Matrix M und ihre Inverse nebeneinander stehen, damit du sie durch  I ersetzen und gegebenenfalls weglassen kannst. M*M^{-1} = I .  I ist das neutrale Element der Multiplikation von Matrizen.

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Hallo tito1992, 
@Lu hat völlig Recht. Es ist nicht vorgeschrieben, dass eine Matrix immer nur "von links" an beide Seiten der Gleichung multipliziert wird, auch wenn einem das in Vorlesungen anfangs fälschlicherweise so vorkommen kann. Es ist für eine Äquivalenzumformung durch Matrizenmultiplikation nur wichtig, dass
1. die Matrizen-Formate die Bildung des Matrizenprodukts erlauben und2. die Matrix entweder nur von rechts oder nur von links  an beide Seiten der Gleichung multipliziert wird. 
André, savest8

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Dankeschön. Jetzt habe ich noch zwei weitere Fragen wie berechne ich die deteminante daraus, weil unser prof. mein danch müssten wie die determinante (A-B+I)  und Cof (A-B+I).!

Answer 2

E sei die 3x3-Einheitsmatrix.

Wie bei "normalen" Gleichungen:

Alle Glieder mit X naxh links, Rest nach rechts bringen. X ausklammern und durch die Klammer "dividieren". Letzteres bedeutet hier mit der inversen Matrix multiplizieren, falls diese existiert.

X * A - C  =  X * B - X       | + C   |  - X * B  | + X  ( = X * E !)

X * A - X * B + X * E  =  C

X * ( A - B + E)  =  C        | * ( A - B + E)^-1   ( = inverse Matrix)

X * E  =  C * ( A - B + E)^-1

   X  =  C * ( A - B + E)^-1

Einsetzen und Ausrechnen ergibt für  X 

X  =  \(\begin{pmatrix} 2&2&1\\ 1&4&0\\ 3&0&2\end{pmatrix}\) *  ( \(\begin{pmatrix} 2&0&2\\ 0&3&1\\ 1&1&4\end{pmatrix}\) - \(\begin{pmatrix} 2&0&0\\ -2&5&-2\\ -3&0&-3\end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\) )^-1

    =  \(\begin{pmatrix} 2&2&1\\ 1&4&0\\ 3&0&2\end{pmatrix}\)  * \(\begin{pmatrix} 1&0&2\\ 2&-1&3\\ 4&1&8\end{pmatrix}\)^-1     [ = hoch -1 = inverse Matix]

    =  \(\begin{pmatrix} 2&2&1\\ 1&4&0\\ 3&0&2\end{pmatrix}\)  *  \(\begin{pmatrix} -11&2&2\\ -4&0&1\\ 6&-1&-1\end{pmatrix}\) 

    =  \(\begin{pmatrix} -24&3&5\\ -27&2&6\\ -21&4&4\end{pmatrix}\) 

Gruß Wolfgang

Comments

Danke sehr!!. Woher weiss ich welches Glied ich auf welche seite bringe?das ist mein problem wenn ich jetzt eine andere Matrizengleichung habe ist es dann immer so, das Alle mit einem X auf eine Seite gebracht werden müssen. Mir wurde nur gesagt das ich immer drauf achten soll auf welcher seite das X steht( Links oder Rechts)

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Du suchst X. Das heisst du willst, dass zum Schluss X allein auf einer Seite vom Gleichheitszeichen steht. Auf welcher Seite ist egal.