Stationäre Stellen der Funktion f : (0;∞) → R, f(x) = 2 ln(x) + x² − 4x

Question

) Gegeben ist die Funktion f : (0;∞) → R, f(x) = 2 ln(x) + x² − 4x.

 a) Bestimmen Sie die stationären Stellen von f 

 b) Klassifizieren Sie die in a) gefundenen stationären Stellen (Maximalstelle, Minimalstelle, Sattelstelle).

bei Aufgabe a) ist ja nach den Nullstellen gefragt und die bekomme ich wenn ich die erste Ableitung bilde, die bei mir wie folgt aussieht :

f ' (x) = 2/x + 2x - 4

das Problem was ich habe ist, dass ich nur eine Nullstelle habe und nicht 2...Im Internet finde ich nur Lösungen mit x² wo man die PQ-Formel beispeilweise anwenden kann, jedoch habe ich ja kein x² oder habe ich falsch abgeleitet?

Comments

Oder muss ich hier die 2te Ableitung nehmen, weil dann habe ich ja meine 2 Nullstellen und kann den ganzen rest machen, wie Minimalstelle bzw. Maximal stelle finden...

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Wenn ich die 2te Ableitung nehmen würde, hätte ich die Nullstellen bei x1= 0 und x2=-1

damit hätte ich mit der 2ten Ableitung bei f ''(0) = 2 somit lokales Minimum und bei f ''(-1) = 0 und f '''(-1) = -4 somit den Sattelpunkt oder?

Answer 1

2/x + 2x - 4 = 0  | * x
2 + 2 * x^2 - 4x = 0 | pq-Formel kann verwendet werden

x = 1

Krümmung an der Stelle
f ´´( x ) = -2/x^2 + 2
f ´´( 1 ) = -2/1^2 + 2 = 0

Die Krümmung ist 0.

Der Punkt ist ein Sattelpunkt.

Krümmung positiv : Tiefpunkt
Krümmung  negativ : Hochpunkt

Comments

Also darf ich nicht einfach die 2te Ableitung benutzen sondern es muss die erste sein? das würde mich jetzt interessieren

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Zur Feststellung der Stellen mit waagerechter Tangente
wird die erste Ableitung benutzt.

f ´( x ) = 2/x + 2x - 4
Stelle mit waagerechter Tangente
2/x + 2x - 4  = 0
mit x malnehmen
2/x + 2x - 4  = 0 | * x
ergibt eine pq- geeignete Formel
2 + 2 * x² - 4x = 0 | pq-Formel kann verwendet werden
x = 1

Zur Feststellung Extrempunkt ( min,max ) oder
Sattelpunkt kann die Monotonie oder die
2.Ableitung verwendet werden.

Bei Bedarf weiterfragen.
Du sollst nicht unwissend sterben.

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Das wollte ich nur wissen, danke :)