Warum hat diese Gleichung keine Lösung in ℝ? 1/(x+1) - 2/(x+2) + 1/(x+3) = 0

Question

Warum hat diese Gleichung keine Lösung in ℝ?

\( \frac{1}{x+1}-\frac{2}{x+2}+\frac{1}{x+3}=0 \)

Answer 1

bringen wir die Brüche erstmal auf einen gemeinsamen Nenner, um zu sehen, was dann passiert:
1/(x+1) - 2/(x+2) + 1/(x+3) = 0

(x+2)(x+3)/[(x+1)(x+2)(x+3)] - 2(x+1)(x+3)/[(x+1)(x+2)(x+3)] + (x+1)(x+2)/[(x+1)(x+2)(x+3)] = 0

Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit eben diesem Hauptnenner, es bleibt:
(x+2)(x+3) - 2(x+1)(x+3) + (x+1)(x+2) = 0

Ausmultiplizieren der Klammern:
x^2 + 5x + 6 - 2x^2 - 8x - 6 + x^2 + 3x + 2 = 0

Zusammenfassen:
x^2 - 2x^2 + x^2 + 5x - 8x + 3x + 6 - 6 + 2 = 0

2 = 0

Offensichtlich unwahr, deshalb keine Lösung in ℝ

Besten Gruß

Answer 2

Man könnte die Gleichung auch zu
1/(x+1) - 1/(x+2) = 1/(x+2) - 1/(x+3)
umschreiben. Das wiederum bedeutet
1/[(x+1)(x+2)] = 1/[(x+2)(x+3)] ,
was nur für x+1 = x+3 gelten kann.

Answer 3

Das sieht man der Gleichung so noch nicht an. 

Das Einzige, was man sieht, ist, dass x keinesfalls -1, -2 oder -3 sein kann. Da Division durch 0 nicht definiert ist,

Hast du denn eine Lösung berechnen können? Du solltest alles auf einen Bruchstrich bringen und vereinfachen. Dazu sucht man den Hauptnenner und multipliziert im Zähler alles aus. Dann wenn möglich kürzen, danach 'mal Hauptnenner'. Versuche das mal bis hier hin.