Gleichungssystem Bestimmen Sie b so dass die Gleichung keine Lösung hat

Question

Ein Gleichungssystem ohne der variablen b wäre kein Problem nur mit weiß ich nicht was ich damit tun soll beziehungsweise wie ich auf den wert b komme?

2.5.1 Gleichungssystem

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{array}{r} {\text {  I } \quad 3x-2y=6} \\ {\text { II } \quad x+b y=3} \end{array} $$
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie b ∈ \( \mathbb{R} \) so, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat! 

Was muss ich mir dazu ansehen links? Erwarte keine vollständige Lösung!

lg

Answer 1

 

3x - 2y = 6  →  y = 3/2 · x - 3

x + by = 3   →  y = -1/b · x + 3/b

Das sind Geradengleichungen. Das Gleichungssystem hat genau dann keine Lösung, wenn die beiden Gleichungen verschiedene parallele Geraden mit gleicher Steigung darstellen, weil es dann keinen Schnittpunkt gibt.

→  3/2 = -1/b  →  b = -2/3    [ → -3 ≠ 3/b ]

Gruß Wolfgang

Answer 2

II x = 3 - by

I 3(3 - by) - 2y = 6 --> y = 3/(3·b + 2)

Keine Lösung für

3·b + 2 = 0 --> b = - 2/3

Comments

Noch einfacher mit der Determinante der Koeffizientenmatrix. Setze diese einfach gleich Null.

3·b - 1·(-2) = 0 --> b = - 2/3

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Dann könnten es aber auch unendlich viele Lösungen sein.

Answer 3

Du kannst hier auch geometrisch argumentieren.

Jede der beiden Zeilen beschreibt eine Punktmenge in der Ebene. Und zwar eine Gerade.

Gemeinsame Punkte repräsentieren die Lösungen des Gleichungssystems.

Damit kein Schnittpunkt existiert, müssen die Geraden parallel zueinander verlaufen.

Das ist der Fall, wenn die Koeffizienten zueinander im gleichen Verhältnis stehen.

Ansatz .   b : 1  = 3 : (-2)

Daher b = - 2/3 

Jetzt noch prüfen, ob die beiden Geraden nicht zufällig aufeinander liegen.

Testen wir, ob ein Punkt auf der ersten Geraden auch auf der zweiten liegt. z.B.

3x - 2y = 6   enthält den Punkt P(2|0)

 x - 3/2 y = 3  . P einsetzen 2 - 0 = 3 stimmt nicht. ==> die Geraden sind parallel zueinander, wie gewünscht.

Comments

Ich verstehe nicht wie ich mir das vorstellen kann...also ich kann die gleichung nach x auflösen und nach y kein Problem aber was tu ich mit b? Wie stell ich das in Form eines Koordinatensystems dar?

Wie setze ich da richtig ein? Ich habe das so gelernt nach x auflösen das x in die II gleichung einsetzen und y berechnen?

Bin nämlich gerade dabei ein Buch durchzuarbeiten es werden dort aber lediglich die lösungen ohne rechenwege angegeben das heißt ich muss das irgendwo schritt für schritt nachlesen um die Kapitel zu verstehen.

Danke für die zahlreichen Antworten.

lg

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Ich nehme an, dass du weisst, dass beides Geradengleichungen sind. 

Man muss b zuerst ausrechnen bevor man die zweite Gerade im Koordinatensystem einzeichnen kann.

Also

3x - 2y = 6

enthält den Punkt

P(2|0) , weil 3*2 - 2*0 = 6

und Q(-3|0), weil 3*0 - 2*(-3) = 6.

 x - 3/2 y = 3  .

Enthält

R(3 | 0) , weil 3 - 3/2*0 = 3

und S(6 | 2), weil 6 - 3/2 * 2= 3

Nun hast du bereits 2 Punkte auf beiden Geraden und kannst die Geraden einzeichnen. Du solltest nun sehen, dass sich die Geraden nirgends schneiden (wenn ich richtig gerechnet habe).

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Ja Ok soweit kann ich folgen ja ich glaub schon das ich das weiß. Aber wie komme ich jetzt auf b reicht es wenn sich die beiden geraden nicht schneiden oder wie bestimme ich b genau?

Ich meine da muss es doch ein Schema geben sodass ich jedes Gleichungsystem lösen kann oder?

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Das hier genügt: (Text dazu in meiner Antwort)

3x - 2y = 6

1x + by = 3

Ansatz .   b : 1  = 3 : (-2)

Daher b = - 2/3 

Du kannst es aber auch wie in einer der andern Antworten machen. Es führen viele Wege zu diesem b.

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Ok danke probier das jetzt mit den anderen beispielen aus !