Da du es nicht nachvollziehen kannst. Wann immer die ===> Determinante der Koeffizientenmatrix verschieden ist von Null, spielt der ( Vektor ) der Absolutzahlen rechts vom Gleichheitszeichen keine Rolle; das LGS hat stets eine und nur eine Lösung. Das LGS beschreibt den Schnittpunkt zweier Geraden; unter der Determinante kannst du dir zur Not so etwas vorstellen wie den Flächeninhalt des von den beiden Richtungsvektoren aufgespannten Parallelogramms.
Notwendige Bedingung, dass die Lösung zusammen bricht: Die Determinante verschwindet <===> Die beiden Geraden siond parallel.
Tidus sein Vorschlag, Einsetzverfahren und Umstellen nach x , geht schon mal gar nicht. Dann nämlich wäre a = 0 ein Sonderfall; in gewisser Weise würdest du die natürliche Symmetrie zwischen x und y zerstören. Außerdem passiert ja bei a = 0 gar nix Kritisches, wie hier schon sehr richtig vermerkt wurde .
Offenbar hat Tidus die Routine von drei Silvestern Mensa; denn er sieht natürlich auf einen Blick, dass dein LGS auf ein ====> Eigenwertproblem in a führt. Ich schreib das jetzt nochmal hin
x ² - x - 30 = 0 ( 1 )
Wenn schon gefordert ist, dass a ganzzahlig sein soll. Ich will hier mal eine typische Matematikerfrage lässig in den Raum stellen. Ist es eigentlich selbstverständlich, dass die Wurzeln von ( 1 ) ganzzahlig sind? Wäre ja denkbar a = 4711/1147 .... Eben nicht.
Sicher; ein quadratisches Polynom könnte das Minimalpolynom seiner Wurzelnsein. Aber die Alternative ist eben, dass es zerfällt; guck mal was Pappi alles weiß
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Der " Satz von der rationalen Nullstelle " ( SRN )
Im ===> v.d. Waerden steht er jeden Falls nicht drinne.
Wenn ( 1 ) ÜBERHAUPT rationale Lösungen besitzt, so nur ganzzahlige.
Hast du dich von deinem ersten Schreck erholt?
Und weil dein Prof das alles nicht weiß - der ===> Sokratische Dialog
" Er weiß nicht mal, dass er es nicht weiß. "
Deshalb kann DIESER SATZ NICHT VON GAUSS STAMMEN .
Und deshalb auch ist diese Aufgabe auch so Sinn los. Denn wenn du noch nie den SRN vernommen hast, mutet es eben wie ein glücklicher Zufall an, dass hier etwas Ganzzahliges rauskommt.
WARUM ist Wurzel 2 irrational? Wir hatten doch jetzt 200 Jahre Zeit seit Gauß .
Mir schrieb mal einer den Kommentar, der Beweis des SRN sei nun " nicht gerade eine Leistung, die mit der Fieldsmedaille " prämiert werde. Schon komisch; warum enthält man Schülern jenen SRN vor, aus dem ja auch die Irrationalität von 4 711 ^ 1/14 folgt?
Unmittelbar nachdem mir dieser ominöse SRN bekannt wurde , entdeckte ich zwei neue pq-Formeln - und du weißt, wie wichtig dass die sind.
" Wäre es denkbar, dass auch heute noch Sachen entdeckt werden, die so wichtig sind wie Pi und die jeder Schüler auch versteht? "
Stell dir vor, ( 1 ) zerfällt
x1;2 := p1;2 / q1;2 € |Q ( 2a )
p1 p2 = a0 = ( - 30 ) ( 2b )
q1 q2 = a2 = 1 ( 2c )
Und Gauß sollte die Bedeutung hinter ( 2bc ) nicht gedämmert sein?
Und niemand in den letzten 200 Jahren soll ( vor mir ) diese Idee gehabt haben? Vol abwegig.
Dieser Wikiartikel wirkt auf mich direkt so, wie wenn sich heute jemand hinstellt und einen Rembrandt fälscht.
Nein; der SRN ist noch keine fünf Jahre alt; die typische Schöpfung eines matematischen Amateurs ohne tiefere Schulung, veröffentlicht auf irgendeiner Homepage - was weiß ich.
Du hast verstanden, dass wir in ( 1 ) sämtliche Zerlegungen des Absolutgliedes 30 suchen müssen; hinreichende Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer der Vieta von ( 1 )
p = x1 + x2 ( 3 )
Das geht jetzt streng nach ===> Binominalverteilung; die 30 hat die Primfaktorenzerlegung 30 = 2 * 3 * 5 Das sind ( n k ) Möglichkeiten mit n = 3 Primfaktoren - zunächst ( 3 0 ) = 1 triviale Darstellung:
| x1 | = 1 ; | x2 | = 30 ; | p | = 29 ( 4a )
Jetzt ( 3 1 ) = 3 Zerlegungen mit je einem Faktor:
| x1 | = 2 ; | x2 | = 3 * 5 = 15 ; | p | = 13 ( 4b )
| x1 | = 3 ; | x2 | = 2 * 5 = 10 ; | p | = 7 ( 4c )
| x1 | = 5 ; | x2 | = 2 * 3 = 6 ; | p | = 1 ( 4d ) ; okay
Jetzt noch das Vorzeichen richtig drehen - fertig ist die Laube.
a1 = ( - 5 ) ; a2 = 6 ( 5 )
Zunächst a1 = ( - 5 ) ; dann lautet die erste gleichung ( du hast wieder mal keine Nummern )
3 x + ( a - 1 ) y = 3 x - 6 y = 8 ( 6a )
a x + 10 y = - 5 x + 10 y = 9 ( 6b )
Auf der linken Seite kommst du von ( 6a ) nach ( 6b ) durch Multiplikation mit ( - 5/3 ) ; auf der rechten Seite kann das schon deshalb nicht stimmen, weil die rechte Seite so wohl von ( 6a ) als auch von ( 6b ) positiv ist - keine Lösung.
Der Fall a2 = 6 geht sogar noch leichter zu rechnen
3 x + 5 y = 8 ( 7a )
6 x + 10 y = 9 ( 7b )
Auf der linken Seite von ( 7a ) tust du alles verdoppeln, um von ( 7a ) nach ( 7b ) zu kommen; aber 2 * 8 ist eben nicht 9 ...
