Für welche a und b hat das Gleichungssystem Ax=b keine, eine, mehrere Lösungen?

Question

Aufgabe:

Für welche Werte von a und b hat das folgende LGS (lineare Gleichungssystem) Ax =b keine, eine, mehrere Lösungen?
\( A=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {-1} \\ {0} & {1} & {-1} & {1} \\ {0} & {0} & {a} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {b}\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right) \)

Ansatz:

Ich habe herausgefunden, dass ich bei a=0 und b=0 keine Lösung hätte.

Answer 1

Für ein quadratisches Gleichungssystem wie vorliegend (Anzahl der Gleichungen (Zeilen) = Anzahl der Variablen (Spalten) = m ) gilt:

Bringt man die um den Ergebnisvektor b = ( b₁, ... , b_m )  erweiterte Koeffizientenmatrix in obere Dreiecksform, dann kann man die Form der Lösungsmenge aus der letzten Zeile bestimmen:

1) Haben alle Einträge der letzten Zeile außer b_m den Wert Null, dann hat das Gleichungssystem keine Lösung. haben.

2) Hat auch b_m den Wert Null, besteht also die letzte Zeile nur aus Nullen, dann hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen

3) Andernfalls, also wenn a_mm≠ 0 , hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.

Also bringt man zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix $$\left( { \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 1 & 0 & b \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} } \right)$$in obere Dreiecksform. Dazu vertauscht man zunächst die beiden letzten Zeilen:$$\left( { \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & a & 0 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} } \right) $$Dann: Dritte Zeile = Dritte Zeile - zweite Zeile:$$\left( { \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & b-1 \\ 0 & 0 & a & 0 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} } \right) $$und dann: Vierte Zeile = Vierte Zeile - a * Dritte Zeile:$$\left( { \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & b-1 \\ 0 & 0 & 0 & -a(b-1) \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \\ 1+2a \end{matrix} } \right) $$

Aus den oben genannten Kriterien ergibt sich dann:

1) Keine Lösung, wenn gilt:

- a ( b - 1 ) = 0 und 1 + 2 a ≠ 0

<=> ( a = 0 oder b = 1 ) und 1 + 2 a ≠ 0

<=> ( a = 0  und 1 + 2 a ≠ 0 ) oder ( b = 1 und 1 + 2 a ≠ 0 )

Für a = 0 ist 1 + 2 a = 1 , also immer ungleich 0, daher:

<=> ( a = 0 ) oder ( b = 1 und 1 + 2 a ≠ 0 )

<=> a = 0 oder ( b = 1 und a ≠ - 1 / 2  )

2) unendlich viele Lösungen, wenn gilt:

- a ( b - 1 ) = 0 und 1 + 2 a = 0

<=> ( a = 0 oder b = 1 ) und 1 + 2 a = 0

<=> ( a = 0 und 1 + 2 a = 0 ) oder ( b = 1 und 1 + 2 a = 0 )

Für a = 0 ist 1 + 2 a = 1 , also immer ungleich 0, daher ist der erste Term der oder-Verknüpfung immer falsch. Es verbleibt:

<=> b = 1  und 1 + 2 a = 0

<=> ( b = 1 und a = - 1 / 2  )

3) genau eine Lösung, wenn gilt:

- a ( b - 1 ) ≠ 0

<=> a ≠ 0 und b ≠ 1

Comments

danke sehr :)

Ich habe es verstanden... ich habe hier noch eine Aufgabe...ich weiß nicht wie ich d) lösen soll