Funktion berechnen. Es muss eine Funktion 3. Grades sein und ist eine Trassierungsaufgabe.

Question

Wie berechnet man die Funktion, die zu den Punkten B(4I3); C(8I1); m(B)=0; m(C)=0? Es muss eine Funktion 3. Grades sein und ist eine Trassierungsaufgabe. Ich versuche die Aufgabe seit mehrere Stunden zu lösen, komme aber nicht auf den richtigen Ergebnis. Danke schon mal im Vorau!. :)

Comments

ist CD das Garagentor oder die Strecke auf der das Auto in die Garage fährt?

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B und C sind die Punkte wo sich die Garage und Straße befindet.

Answer 1

Mit dem Polynom $$ p(x) = a + bx + cx^2 +dx^3  $$ und den vorgegebenen Punkten bekommst Du das Gleichungssystem

$$ \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 16 & 64 \\ 1 & 8 & 64 & 512 \\ 1 & 12 & 144 & 1728 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\3\\1\\d \end{pmatrix}   $$
Die Matrix heisst Vandermode Matrix, s. hier
https://de.wikipedia.org/wiki/Vandermonde-Matrix und ist invertierbar, weil \( \det(A) \ne 0 \) weil die Stützstellen paarweise verschieden sind.
Die Lösung ergibt sich über Gaussche Zeilenstufenform zu
$$ 3 , \frac{7}{12} , -\frac{3}{16} , \frac{1}{96} $$

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ich komme bei ax³+bx²+cx+d auf

 a = 1/16 ∧ b = - 9/8 ∧ c = 6 ∧ d = -7

Answer 2

( 4 | 3 )
( 8 | 1 )

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c

f ( 4 ) = 3
f ( 8 ) = 1
f ´ (  4 ) = 0
f ´( 8 ) = 0

f ( 4 ) = a * 4^3 + b * 4^2 + c * 4 + d = 3
f ( 8 ) = a * 8^3 + b * 8^2 + c * 8 + d = 1
f ´( 4 ) = 3 * a * 4^2 + 2 * b * 4 + c = 0
f ´( 8 ) = 3 * a * 8^2 + 2 * b * 8 + c = 0

a * 4^3 + b * 4^2 + c * 4 + d = 3
a * 8^3 + b * 8^2 + c * 8 + d = 1
3 * a * 4^2 + 2 * b * 4 + c = 0
3 * a * 8^2 + 2 * b * 8 + c = 0

64a  + 16b  + 4c  + d = 3
512a  + 64b + 8c + d = 1
32a  + 8b  + c = 0
192a + 16b  + c = 0

4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
Das dürfte lösbar sein.

Comments

Laut meinem Rechner hat dieses LGS keine Lösung

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Nach meinem Matheprogramm auch nicht.

Was ist hier los ?

Die 4 Aussagen stimmen doch.

Sollte man es einmal mit dem Wendepunkt
probieren
W ( 6 | 2 )

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Der Steckbriefrechner meint

64a + 16b + 4c + d = 3
512a + 64b + 8c + d = 1
48a + 8b + c = 0
192a + 16b + c = 0

f(x) = 0,0625·x^3 - 1,125·x^2 + 6·x - 7

Es muß 48a heißen

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3. Gleichung:   3*a*4² = 48a

ergibt die Lösung  a = 1/16 ∧ b = - 9/8 ∧ c = 6 ∧ d = -7