Bestimmen von Parametern in einer Trassierungsaufgabe

Question

ich hab ein folgendes Problem und komme nicht weiter.

Die Aufgabe lautet:

Die folgende Abbildung stellt einen Entwurf für das Profil einer Kugelbahn dar. (Anhang)

Für die Modellierung werden die folgenden Funktionen f und g verwendet:

f(x) = -x³ + 0,5x + 1 für den Bereich -1 ≤ x ≤ 1 und g(x) = ax² + bx + 6,25 für den Bereich 1 ≤ x ≤ 1,4

x in Metern, f(x) und g(x) in Höhe über dem Boden in Metern. Der waagerechte Boden ist durch die x-Achse gegeben.

a) Bestimmen Sie die Werte für die Parameter a und b so, dass der Übergang im Punkt P(1 I 0,5) sprung- und knickfrei ist.

(Zur Kontrolle a = 3,125 und b= -8,75)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe wie die Bedingungen für die Funktionen lauten, damit zwei Graphen sprung- und knickfrei sind. Hier habe ich zuerst f(1) eingesetzt (da es ja einer der beiden Bedingungen ist). Es kommt wie erwartet 0,5 raus. Dem entsprechend müsste ich ja auch g(1) berechnen, um auch auf den y-Wert 0,5 zu kommen, aber hier stellt sich nun auch meine Frage. Ich habe zwei Parameter (a und b) und komme bei der Berechnung dafür nicht klar. Vielleicht gehe ich das auch alles falsch an?

g(1)

0,5 = a · 1^2 + b · 1 + 6,125   I -6,125

-5.625 - b = a · 1^2

Und ab hier habe ich nicht weiter gerechnet, weil es meiner Meinung nach keinen Sinn ergab

Ich denke ihr könnt mir dabei helfen !:)

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

sprung- und knickfrei ist...

also muss auch die Steigung identisch sein. Berechne mit der 1.Ableitung die Steigung von f an der Stelle x = 1 und stelle damit eine weitere Bedingung für g auf, dann hast du ein LGS mit 2 Gelichungen und 2 Unbekannten was du lösen können solltest.

Deine beiden Gleichungen sollten

g(1) = a + b + 6.125 = 0.5    und

g'(1) = 2a + b = - 2.5

Edit:

LGS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten:

I. a + b + 6.125 = 0.5

   a + b = -5.625

     a = -5.625 - b

II. 2a + b = -2.5

I. in II. einsetzen:

2* (-5.625 - b) + b= -2.5

-11.25 - 2b  + b= -2.5

-b = 8.75

b = -8.75

in I. einsetzen:

a - 8.75 + 6.125 = 0.5

a = 3.125

g(x) = 3.125x^2 - 8.75x + 6.125

Comments

Perfekt danke sehr, dann hätte ich doch so weiterrechnen können. Vielen dank :)

Answer 2

g(1) = a + b + 6.125 = f(1) = 0.5
g'(1) = 2·a + b = f'(1) = -2.5

Löse das Gleichungssystem und setze die Parameter in die Funktion ein. Du solltest

g(x) = 3.125·x^2 - 8.75·x + 6.125

erhalten.

Comments

Es ist ja egal welches Gleichungssystem ich löse, weshalb ich g '(1) genommen habe:

-2,5 = 2 · a + b  I : 2

-1,25 = a + b     I - b

-1,25 - b = a

Das müsste ich ja nun in g(1) einsetzen. Aber lt. meiner Lösung ist Parameter a von b abhängig und das dürfte ja eigentlich nicht sein? Was habe ich falsch gemacht?

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@Mathecoach,

wie kommst du auf 6.125?

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@Mathecoach,

wie kommst du auf 6.125?

Die Aufgabe war falsch gestellt. Der Fragesteller hatte die 1 in der Aufgabe vergessen, weiter unten aber eben auch mit 6.125 gerechnet gehabt.

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Okay danke, hab's bei mir korrigiert.

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Ich komme auf keine Lösung für einen Parameter. Könnte mit jemand den Lösungweg dafür aufschreiben?

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@micha4x

Ich hab es in meiner Antwort vorgerechnet, ab "Edit:"