Aufgabe: Die Aufgabe lautet:Bestimmen Sie alle t ∈ ℝ für die die Funktion gt stetig auf ℝ ist.
Problem/Ansatz: Für x ungleich t ist mir die Lösung klar.Ich verstehe nur nicht,warum für x= -t der Grenzwert gleich null gesetzt wird.Also wie komme ich auf die Null?
Text erkannt:
2. Es sei \( t \in \mathbb{R} \) beliebig.
\( g_{t}(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x^{2}+\sin (x+t)-t}{x+t}, & \text { falls } x \neq-t \\ 1-2 \cdot t, & \text { falls } x=-t \end{array}\right. \)
Die Funktion \( g_{t} \) ist offensichtlich stetig in allen Punkten \( x \neq-t \). Eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit der Funktion \( g_{t} \) im Punkt \( x=-t \) lautet
\( 0=\lim \limits_{x \rightarrow-t}\left(x^{2}+\sin (x+t)-t\right)=t^{2}-t=t \cdot(t-1) . \)
Folglich ist die Funktion \( g_{t} \) für alle Werte von \( t \notin\{0,1\} \) unstetig im Punkt \( x=-t \). Für \( t=0 \) ist \( g_{0} \) stetig auf ganz \( \mathbb{R} \) nach Teil 1. Für \( t=1 \) gilt (mit der Regel von de l'Hospital)
\( \lim \limits_{x \rightarrow-1} g_{1}(x)=\lim \limits_{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+\sin (x+1)-1}{x+1}=\lim \limits_{x \rightarrow-1} 2 \cdot x+\cos (x+1)=-1, \)
also ist auch \( g_{1} \) auf ganz \( \mathbb{R} \) stetig.
