Komplexe Zahlen, Assoziativgesetz und Distrubutivgesetz

Question

Aufgabe:

Für komplexe Zahlen z = x + iy und w = u + iv mit x, y, u, v ∈ R sind Addition und
Multiplikation gegeben durch
z + w = (x + u) + i(y + v)
und
zw = (xu − yv) + i(xv + yu).
Zeigen Sie, dass hierfür das Assoziativgesetz der Multiplikation (K5) und das Distributivgesetz (K9) gelten. Geben Sie dabei an, an welcher Stelle Sie die Definitionen und die
Körperaxiome für die reellen Zahlen verwenden

Problem/Ansatz:

Bin noch im ersten Semester und ich weiß leider absolut nicht wie ich diese Aufgabe angehen soll, das Skript hilft mir auch nicht weiter

Vielen dank im Voraus

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Assoziativgesetz der Multiplikation (K5) und das Distributivgesetz (K9) für komplexe Zahlen zeigen

Stichworte: assoziativgesetz,multiplikation,distributivgesetz,komplexe-zahlen

8. Für komplexe Zahlen z = x + iy und w = u + iv mit x, y, u, v ∈ R sind Addition und
Multiplikation gegeben durch
            z + w = (x + u) + i(y + v)
                         und
            zw = (xu − yv) + i(xv + yu).
Zeigen Sie, dass hierfür das Assoziativgesetz der Multiplikation (K5) und das Distributivgesetz (K9) gelten. Geben Sie dabei an, an welcher Stelle Sie die Definitionen und die
Körperaxiome für die reellen Zahlen verwenden.

---

Bin noch im ersten Semester

Gut, dass du dir Hilfe holst. Bitte auch die Suche verwenden und Duplikate vermeiden.

Zumindest im ersten Semester hast du bestimmt noch die Motivation die Veranstaltungen (Vorlesungen, Tutorate, Übungsgruppen usw.) an der Uni zu besuchen. (?)

Answer 1

Seien x=(a,b), y=(c,d), z=(e,f) \(\in \mathbb{C}\) mit a,b,c,d,e,f \(\in \mathbb{R}\).
(Notation: x=(a,b)=a+ib)

Assoziativgesetz der Multiplikation: (xy)z=x(yz)
(xy)z
=((a,b)(c,d))(e,f)
=(ac-bd,ad+bc)(e,f)
=(e(ac-bd)-f(ad+bc),f(ac-bd)+e(ad+bc))
=(eac-ebd-fad-fbc,fac-fbd+ead+ebc)
=(ace-adf-bcf-bde,acf+ade+bce-bdf)
=(a(ce-df)-b(cf+de),a(cf+de)+b(ce-df))
=(a,b)(ce-df,cf+de)
=(a,b)((c,d)(e,f))
=x(yz)

Distributivität: x(y+z)=xy+xz
x(y+z)
=(a,b)((c,d)+(e,f))
=(a,b)(c+e,d+f)
=(a(c+e)-b(d+f),a(d+f)+b(c+e))
=(ac+ae-bd-bf,ad+af+bc+be)
=((ac-bd)+(ae-bf),(ad+bc)+(af+be))
=(ac-bd,ad+bc)+(ae-bf,af+be)
=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)
=xy+xz

Die Definitionen und Körperaxiome von \(\mathbb {R}\) kannst du hiermit sicher selbst angeben.

Answer 2

z.B. für das Assoziativgesetz der Mult.  :

Seien  z = x + iy und w = u + iv und r = s+it mit s,t, x, y, u, v ∈ R

irgendwelche komplexen Zahlen, dann ist zu zeigen:

z*(w*r)  =  (z*w)*r

Da zu rechnest du beide Seiten aus und prüfst, ob das gleiche Ergebnis entsteht.

Dabei verweist du auf die Gesetze in R, etwa so :

z*(w*r)    nach Def. von * ist das

=z*( (us − vt) + i(ut + vs))    #

[ Denn du musst ja  zw = (xu − yv) + i(xv + yu) verwenden nur

hier wird ja w*r bzw. wr ausgerechnet und da entspricht das

x dem u und das y dem v etc.] Nach # weiter mit der

Definition. Dieses Mal ist es noch was wilder in der

Def   zw = (xu − yv) + i(xv + yu) hast du jetzt vorne das z,

also x und y behalten ihre Bedeutung, aber statt des u und v vom w

musst du jetzt u=(us − vt) und v=(ut + vs) einsetzen. Das gibt

# = ( x(us − vt)  - y(ut + vs) )  + i( x(us − vt) + y(us − vt)      )

Und innerhalb von Real- und Im-Teil kannst du jetzt die

Gesetze von R anwenden, also etwa wegen des Distributivgesetzes

geht es weiter mit

  = ( (xus − xvt)  - ( yut + yvs) )  + i( (xus − xvt) + (yus − yvt)      )

und dann die einschlägigen Gesetze (Minusklammer etc) anwenden.

Das Entsprechende mit     (z*w)*r

= (  (xu − yv) + i(xv + yu) )*r

und nochmal die Def. mit x entspricht (xu-yv) etc.

Dann zeigen, dass bei beiden das gleiche Ergebnis entsteht.