Polynomring ℚ[X] gegeben.... Zeigen dass ein Unterraum eine Basis ist

Question

Hallo Mathelounger

Ich habe einen Polynomring ℚ[X] mit dem Unterraum V := ℚ[X]₂ dessen Polynome einen Grad von ≤ 2 mit den Bassen ξ = (1, X, X^2)

Ich soll zeigen das A := (w₀, w₁, w₂) mit w₀ := 2, w₁ := X^2 - X +1 , w₂ := x^2 -1 eine Basis von V ist

Dankeschön

Comments

Schau mal, was bei der "ähnlichen (komplizierteren?) Frage" gemacht wurde. https://www.mathelounge.de/402666/q-x-linear-unabhangig-ist-und-mit-basis-erweitern 

Answer 1

Da die "alte" Basis drei Elemente hat, ist dim=3 also hat

jede Basis 3 Elemente.  Du musst also nur noch zeigen, dass die

drei w's linear unabhängig sind. Dazu machst du den Ansatz

a*w1 + b*w2 + c*w3 = 0 setzt ein und formst um, das gibt

(2a+b-c)*1 + (-b)*x +(b+c)*x² = 0 - PolynomDa 1 , x und x² eine Basis bilden, sind sie lin. unabh.

also sind die drei Klammern alle = 0 und wenn du das

hinschreibst, bekommst du aus den drei Gleichungen

a=0  und b=0   und c=0 .

Also sind die w's lin. unabhängig.  q.e.d.

Comments

Und wie berechnet man dann die Mε^ε(D), Mε^A(D), MA^ε(D) und MA^A(D)?

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Dazu muss man erstmal etwas über D wissen.  Und dann stehen in der k-ten

Spalte die Koeffizienten der Bilder des k-ten Basis Vektors immer mit der

jeweiligen Basis dargestellt.