wie kann Dimension einer Basis kleiner sein als die des vektorraums?

Question

Ich bin auf eine Aufgabe hier im Forum gestoßen.

Es geht darum die Basis und ihre Dimension herauszufinden, gegeben sind 4 Vektoren im R⁴. Die Basis die rauskommt besteht aus 3 Vektoren im R³, sodass ich mich frage, wie das sein kann, schließlich können doch so Vektoren aus R⁴ gar nicht dargestellt werden und genau darum geht es doch bei Basen. Anbei der Link

https://www.mathelounge.de/115604/wie-bestimme-ich-untervektorraum-d…

Answer 1

Eine Basis hat keine Dimension. Vektorraeume haben eine Dimension.

Du musst mal nachschlagen, was ein Untervektorraum ist, und ein paar Beispiele durcharbeiten.

Answer 2

Du meinst offensichtlich nicht die Dimension sondern die  Anzahl der Vektoren einer endlichen Basis eines Vektorraums, die mit der Dimension des VR übereinstimmt.

Alle Basen des ℝ⁴ sind Teilmengen mit 4  linear unabhängigen Vektoren.

In der angegebenen Aufgabe geht es aber nicht um eine Basis des ℝ⁴ , sondern um die Basis eines Unterraums des ℝ⁴, der die Dimension 3 hat, weil er von einer Basis mit 3 Vektoren erzeugt wird (also genau die Linearkombinationen dieser 3 Vektoren enthält).

Gruß Wolfgang