Ungleichung (x-3)/(x-2) < 5 lösen

Question

übe ungleichungen und komme einfach nicht weiter an einem Beispiel, hoffe jemand kann mir das Beispiel mit Rechnungsweg lösen.

(x-3)/(x-2) < 5

LG

Answer 1

(x-3)/(x-2) < 5      | -5

(x-3)/(x-2) - 5 < 0       | Brüche subtrahieren

(x-3)/(x-2) - 5(x-2)/(x-2) < 0 

(x-3 - 5(x-2))/(x-2) < 0

(x-3 - 5x + 10)/(x-2) < 0

(7 - 4x)/(x-2) < 0

Nullstelle des Zählers: x= 7/4

Nullstelle des Nenners: x=2

Ein Bruch ist genau dann negativ, wenn der Zähler pos. und der Nenner neg. ist oder umgekehrt.

x-2 > 0 für x>2

x-2 < 0 für x<2

7-4x > 0 für x < 7/4

7 - 4x < 0 für x > 7/4

Bitte nachrechnen und dann überlegen, welche Bereiche des Zahlenstrahls die Lösungsmenge bilden.

L = { x Element R | x< 7/4 oder x>2 } 

 

Answer 2

(x-3) / (x-2) < 5   | * (x-2)   2 Fälle: bei Multiplikation mit negativem x-2 wird <  zu  >  

  ⇔ [  x>2 und x-3 < 5 * (x-2) ]   oder  [ x<2 und x-3  >  5 * (x-2)]

⇔ [  x>2 und x-3 < 5x-10 ]   oder  [ x<2 und x-3  > 5x-10 ]

⇔ [  x>2 und 7 < 4x ]   oder  [ x<2 und 7 > 4x ]

 ⇔ [  x>2 und 7/4 <  x ]   oder   [ x<2 und 7/4 > x ]

⇔  x > 2   oder  x < 7/4   

Gruß Wolfgang 

Answer 3

(x-3)/(x-2) < 5

Konventionelle Lösung  mit Fallunterscheidung

D = ℝ \ { 2 }

1.Fall
Nenner ist positiv
x -2 > 0
x > 2

(x-3) / (x-2) < 5  | * ( x -2 )
x - 3 < 5 * ( x -2 )
x - 3 < 5 * x - 5 * 2
-3 + 10 < 4 * x | : 4
7 / 4 < x
x > 7 / 4

Eingangsvoraussetzung
( x > 2 )  und ( x > 7 / 4 )
Zusammen
x > 2

2.Fall
Nenner ist negativ
x -2 < 0
x < 2

(x-3) / (x-2) < 5  | * ( x -2 )
( Multiplikation mit einem negativem;
das Relationszeichen dreht sich um )

x - 3 > 5 * ( x -2 )
x - 3 > 5 * x - 5 * 2
-3 + 10 > 4 * x | : 4
7 / 4 > x
x < 7 / 4

Eingangsvoraussetzung
( x < 2 )  und ( x < 7 / 4 )
Zusammen
x <  7 / 4

Fall 1 und 2
( x > 2 ) und  ( x < 7 / 4 )

mfg Georg