Hallo probe,
Nimmt man sich eine Stelle \(x\) an der Funktion und berechnet die Streckenlänge der Funktion in einem ausreichend kleinen Intervall \(\Delta x\), so ist die Streckenlänge \(\Delta s\) nach Pythagoras \(\Delta s = \sqrt{\Delta x^2 + \left( f(x+\Delta x) - f(x)\right)^2}\). Und die Strecke \(S\) in einem Intervall \(a,b\) erhält man aus der Summe aller \(\Delta s\):
$$S=\sum_a^b \Delta s= \sum_a^b \sqrt{\Delta x^2 + \left( f(x+\Delta x) - f(x)\right)^2}\\= \sum_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{ f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)^2}\cdot \Delta x$$ Der Ausdruck in Klammern unter der Wurzel ist der Differenzenquotient der Funktion \(f(x)\). Mit dem Übergang \(\Delta x \to 0\) wird daraus
$$S = \int_a^b \sqrt{1+\left( f\prime(x)\right)^2}dx$$
Führst Du die Integration nummerisch durch, so bleibt \(\Delta x\) endlich und man löst die Summenformel oben. Unterteile die Strecke z.B. in drei Bereiche (\(\Delta x=1\)) und man erhält folgende Zahlen:
| x | f(x) | f(x+dx)-f(x) | ds |
| 1 | 4,000 | -2,000 | 2,236 |
| 2 | 2,000 | -0,667 | 1,202 |
| 3 | 1,333 | -0,333 | 1,054 |
| 4 | 1,000 |
| . | . | S= | 4,492 |
Bei 6 Bereichen ist \(S=4,519\) und bei 12 ist \(S=4,526\).
Gruß Werner
