Differenz zwischen Zahlen

Question

Für welche Zahl zwischen 0 und 1 ist die Differenz zwischen ihr und ihrem Quadrat betragsmäßig am größten?

Kann mir hier jemand einen Tipp geben, bzw. eine Zugangsweise zu dieser Aufgabe?

Ich hab mir das ganze als Parabel vorgestellt, aber selbst da komm ich auf keinen grünen Zweig. Andere Möglichkeit wäre über die Funktionstabelle, aber wie löst man das rechnerisch?

Answer 1

Du brauchst x-x^2, und davon das maximum. Also ableiten und null setzen. Ergibt

1-2x=0

2x=1

x=1/2

Comments

Kannst du mir auch den logischen zsmhang erklären?

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Hmm ich weiß nicht genau was du meinst. Wenn man die Differenz zwischen einer zahl (die nennen wir x) und ihrem Quadrat  (also x^2) bilden, dann bekommen wir x-x^2. Weißt du wie man dann mit hilfe einer ableitung das maximum bestimmt?

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passt, mit der Grafik hab ichs vertanden. Ich habe mir vorher aber x+x² angeschaut und somit kommt man natürlich auf nichts wahres. Allerdings hat man ja hier die nach unten geöffnete Parabel und durch die Ableitung die Tangentensteigung bestimmt.

Warum setzen wir 1. Ableitung gleich null?

Maximum bestimmen geht dann über die zweite Ableitung...

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Hmm das ist nicht ganz richtig. Ja mit der ersten Ableitung bestimmt man die tangentensteigung. Da wir uns für das Maximum der Funktion interessieren wollen wir wissen wo die tangensteigung null ist, denn da ist entweder ein Hochpunkt oder ein tiefpunkt. Um diese Stelle also zu finden setzen wir die Ableitung Null (sog. notwendige Bedingung). Mit der zweiten Ableitung könnte man dann herausfinden ob es ein hoch oder ein tiefpunkt ist (sog. hinreichende bedingung). Brauchen wir hier aber nicht, da die nach unten geöffnete Parabel nur einen Hochpunkt haben kann.

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Ah ok, super Erklärung! Danke dir :-)