0 Daumen
1,1k Aufrufe

Ich soll zeigen, dass es eine Funktion g(x) gibt, für die gilt:

exp(g(x))+g(x)=x

Leider hab ich alles probiert und weiß nicht wirklich was hier die Lösung sein soll

Avatar von

4 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Na ja - Du sollst ja nur zeigen, dass diese Funktion existiert und sollst nicht zwingend einen mathematischen Term für die Funktion g(x)g(x) hinschreiben (Ist IMHO gar nicht möglich!). Wenn eg(x)+g(x)=xe^{g(x)}+g(x)=x dann ist

ex+x=g1(x)=h(x)e^x+x=g^{-1}(x)=h(x)

es lässt sich zeigen, dass ex+xe^x+x stetig und streng monoton steigend und damit injektiv ist. Demzufolge existiert auch eine Umkehrfunktion h1(x)=g(x)h^{-1}(x)=g(x). Da ex+xe^x+x alle Werte von -\infty bis ++\infty annehmen kann, ist der Definitionsbereich von g(x)g(x) auch nicht eingeschränkt.

Gruß Werner

Avatar von 49 k
+1 Daumen

jvc96,

ich hätte eine Lösung. Allerdings weiß ich nicht, ob Dir die Lambertsche W-Funktion etwas sagt. Eine mögliche Funktion lautet g(x)=W(ex)+xg(x)=-W(e^x)+x Dass dieses Ergebnis stimmt, kannst Du hier nachprüfen (siehe Alternate Form):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E(-W(e%5Ex)%2Bx)-W(e%5Ex)%2…

Gelöst habe ich das über die Differentialgleichung g(x)eg(x)+g(x)=1g'(x)e^{g(x)}+g'(x)=1 die Du durch beidseitiges Ableiten von eg(x)+g(x)=xe^{g(x)}+g(x)=x erhältst.

Ich hoffe, dass Dir das hilft.

André, savest8

Avatar von
0 Daumen

Wie wäre es mit g(x)= 1/2 *ln(x)

exp (1/2 *ln(x) +1/2 *ln(x)) = x

Avatar von 8,7 k

exp (1/2 *ln(x) +1/2 *ln(x)) = x

Na und ?

sicher das das stimmt. Das sieht bei Wolfram alpha nicht wie x aus:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(0.5ln(x))%2Be%5E(0.5ln(x))

Achso, habe mich verlesen, dachte du meinst exp(g(x)+g(x))
0 Daumen

Zeige, dass die Gleichung ey+y=xe^y+y=x für jedes xRx\in\mathbb{R} genau eine Lösung yRy\in\mathbb{R} hat. Dann kannst Du g(x) : =yg(x):=y setzen. Bestaetige dazu, dass f(y)=ey+yf(y)=e^y+y bijektiv von R\mathbb{R} nach R\mathbb{R} abbildet.

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen