Funktion aus Exponentialausdruck

Question

Ich soll zeigen, dass es eine Funktion g(x) gibt, für die gilt:

exp(g(x))+g(x)=x

Leider hab ich alles probiert und weiß nicht wirklich was hier die Lösung sein soll

Answer 1

Na ja - Du sollst ja nur zeigen, dass diese Funktion existiert und sollst nicht zwingend einen mathematischen Term für die Funktion \(g(x)\) hinschreiben (Ist IMHO gar nicht möglich!). Wenn \(e^{g(x)}+g(x)=x\) dann ist

$$e^x+x=g^{-1}(x)=h(x)$$

es lässt sich zeigen, dass \(e^x+x\) stetig und streng monoton steigend und damit injektiv ist. Demzufolge existiert auch eine Umkehrfunktion \(h^{-1}(x)=g(x)\). Da \(e^x+x\) alle Werte von \(-\infty\) bis \(+\infty\) annehmen kann, ist der Definitionsbereich von \(g(x)\) auch nicht eingeschränkt.

Gruß Werner

Answer 2

jvc96,

ich hätte eine Lösung. Allerdings weiß ich nicht, ob Dir die Lambertsche W-Funktion etwas sagt. Eine mögliche Funktion lautet $$g(x)=-W(e^x)+x$$ Dass dieses Ergebnis stimmt, kannst Du hier nachprüfen (siehe Alternate Form):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E(-W(e%5Ex)%2Bx)-W(e%5Ex)%2Bx

Gelöst habe ich das über die Differentialgleichung $$g'(x)e^{g(x)}+g'(x)=1$$ die Du durch beidseitiges Ableiten von $$e^{g(x)}+g(x)=x$$ erhältst.

Ich hoffe, dass Dir das hilft.

André, savest8

Answer 3

Wie wäre es mit g(x)= 1/2 *ln(x)

exp (1/2 *ln(x) +1/2 *ln(x)) = x

Comments

exp (1/2 *ln(x) +1/2 *ln(x)) = x

Na und ?

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sicher das das stimmt. Das sieht bei Wolfram alpha nicht wie x aus:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(0.5ln(x))%2Be%5E(0.5ln(x))

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Achso, habe mich verlesen, dachte du meinst exp(g(x)+g(x))

Answer 4

Zeige, dass die Gleichung \(e^y+y=x\) für jedes \(x\in\mathbb{R}\) genau eine Lösung \(y\in\mathbb{R}\) hat. Dann kannst Du \(g(x):=y\) setzen. Bestaetige dazu, dass \(f(y)=e^y+y\) bijektiv von \(\mathbb{R}\) nach \(\mathbb{R}\) abbildet.