Bruchgleichung mit x in Zähler und Nenner

Question

Die Gleichung ist x⁴ -1 / x - 1 = 40

Der erste Schritt, denke ich, ist es x aus dem Nenner zu ziehen, also dann x⁴ - 1 = 40 * (x - 1)

Wie löse ich hier x auf? Geht das "mathematisch" ohne einfach einzusetzen? Mit einsetzen komme ich auf x = 3, aber das ist Glückssache...

Answer 1

Die Gleichung x⁴ - 1 = 40 x - 40 löst man tatsächlich am besten durch Raten. Sonst müsste man ein Näherungsverfahren anwenden. Eine zweite Lösung ergibt sich in dieser Form übrigens für x=1. Aber dann wird in der Ausgangsgleichung durch Null geteilt. Damit entfällt diese Lösung.

Answer 2

$$\frac { x^4-1 }{ x-1 }=\frac { (x^2+1)(x^2-1) }{ (x-1) }\\=\frac { (x^2+1)(x+1)(x-1) }{ (x-1) }=(x^2+1)(x+1);x\neq1 \\(x^2+1)(x+1)=40\\x^3+x^2+x+1=40\\x^3+x^2+x-39=0\\(x-3)(x^2+4x+13)=0\\x=3\\\text{der quadratische Term gibt keine weitere Nullstelle mehr}$$

Answer 3

$$\frac { { x }^{ 4 }-1 }{ x-1 }=40 \quad|\quad faktorisieren$$

$$\frac { ({ x }^{ 2 }-1)\cdot({ x }^{ 2 }+1)} { x-1 }=40 \quad|\quad linke\quad Seite\quad Nenner\quad entfernen$$

$${ ({ x }^{ 2 }-1)\cdot({ x }^{ 2 }+1)} =40 \cdot { (x-1) }$$

$${ ({ x }^{ 2 }-1)\cdot({ x }^{ 2 }+1)} =40 x-40 \quad|\quad -40x$$

$${-40x+ ({ x }^{ 2 }-1)\cdot({ x }^{ 2 }+1)} =-40$$

$${ Lösungsmenge: \{\}}$$

Wäre mein Vorschlag, will aber für nichts garantieren...

Answer 4

Die Gleichung ist x⁴ -1 / x - 1 = 40

Hinweis : Klammerung vergessen. Es muß lauten

( x⁴ -1 ) / ( x - 1 ) = 40

Eine " mathematische " Vorgehensweise gibt es leider
nicht. Es darf geraten werden.

Oder du wandelst um

( x⁴ -1 ) / ( x - 1 ) = 40
( x⁴ -1 ) / ( x - 1 ) - 40 = 0
f ( x ) =  ( x⁴ -1 ) / ( x - 1 ) - 40

Plotten lassen und den Nullpunkt bestimmen



mfg Georg