Ableitung von a^x berechnen

Question

Wir haben a€R
Also a^x ist nach Definiton nichts anderes als e^{xln(a)}. Das weiß ich. Das kann ich mit der Kettenregel ableiten.

Dann erhalte ich : e^{xln(a)} mal die innere Ableitung.

Bzw. a^x mal die innere Ableitung. Ich weiß, dass die Ableitung von a^x = ln(a)*a^x ist. Aber ich weiß nicht warum.

Bei der inneren Ableitung (also von x*ln(a) komme ich nämlich nicht auf ln(a).)

Kann mir das jemand kurz erklären?

Answer 1

\( x \) ist Variable, \( \ln(a) \) ist Konstante

Comments

> Wir haben a€R 

Diese Aussage in der Aufgabenstellung  ist natürlich im Zusammenhang mit den folgenden Ausführungen unsinnig.

Deshalb vermisse ich bei "MatheGenie" einschränkende Bemerkungen über die möglichen Grundmengen für a und den jeweils davon abhängigen maximalen Definitionsbereich des Terms a^x , denn 

"Gerade als Mathematiker darf man von gar nichts ausgehen, was nicht explizit angegeben ist."

lautet ein Kommentar von "MatheGenie" zu einer meiner Antworten vor etwa 6 Stunden.

Stattdessen schreibt er einfach unreflektiert "ln(a) ist Konstante" in seine Antwort.

Answer 2

a^x = e^{ln[ahochx]}

e und ln heben sich wieder auf.

e ^{x*ln[a]}

( e^term ) ´ = e^term * ( term ´ )

term = x * ln ( a )
term ´ =  ln ( a )

( e^term ) ´ = e^term * ln ( a )

( e^term ) ´ =  e^{ln[a^x]} * ln ( a )

( e^term ) ´ =  a^x * ln ( a )

( a^x ) ´ = a^x * ln ( a )

Wird immer wieder gebraucht

( e^term ) ´ = e^term * ( term ´ )

( ln ( term ) ) ´=  ( term ´ ) / term