Operation auf der Gruppe S_(4). Menge zerfällt in zwei Bahnen?

Question

 bei der Vorbereitung auf eine Klausur bin ich auf diese Aufgabe gestoßen und würde sie gerne lösen. Aber ich komme leider gar nicht mit ihr zurecht.

Könnte mir da bitte jemand helfen? 

Answer 1

Also ich denke mal es ist

X = {1,2,3,4} x { 1,2,3,4}

denn das wird ja für Paare definiert.

Dann ist (nach Def. ) σ(a,b) = (  σ(a) , σ(b) )

Und damit wird ein Paar mit zwei gleichen Komponenten wieder

auf eines mit zwei gleichen Komponenten abgebildet, eine Bahn ist also

{ (1;1) , (2;2) , (3;3) , (4;4) }

und da es für jede Zahl aus 1..4 ein σ aus S4 gibt, dass diese auf jedes

andere Element von 1..4 abbildet, sind alle 4 Paare in der gleichen Bahn.

Alle anderen sind zusammen in der zweiten Bahn, denn , wenn (a;b) ein

Paar mit uwei verschiedenen Komponenten ist, dann sind

bei  σ(a,b) auch beide Komponenten verschieden; denn bei einer

Permutation werden ja nie zwei verschiedene auf das gleiche

Element abgebildet.  Andererseits kommen alle Paare mit verschiedenen

Komponenten als Bilder vor.

Also hat eine Bahn ( etwa vertreten durch (1;1) )  die Länge 4

Und die andere 16-4 = 12. Vertreten etwa durch (1;2) .

Answer 2

Wähle ein x ∈ X. Wende jedes σ∈S₄  auf x an. Sammle diese Elemente in einer Menge M.

Wähle ein x ∈ X, das nicht in M ist. Wende jedes σ∈S₄  auf x an. Sammle diese Elemente in einer Menge N.

Zeige dass M∪N = X ist.

Comments

Also ich habe nun als zwei Bahnen M und N M={1,3,4} und N={2}. Und die zusammen sind klar X. Aber das erscheint mir komplett falsch.

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> M={1,3,4}

Das kann alleine deshalb schon nicht sein, weil X eine Menge von Paaren ist. Dann sind auch die Bahnen Mengen von Paaren.

Welches x ∈ X hast du im ersten Schritt ausgewählt?

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Ich hatte "übersehen" dass es sich hier um Tupel handelt, daher hatte ich nur eine Zahl ausgewählt, was natürlich falsch ist.

Aber mit der Erklärung der anderen Antwort, insofern die stimmt, ist mir das ganze klar geworden.