Extremwertaufgabe: Gegeben sind f (x) und g (x). Für welchen Wert von x<1 ist der Abstand der beiden Funktionen maximal?

Question

Ich rechne derzeit folgende Aufgabe:

Das sind jetzt nur meine Ergebnisse, aber ich habe folgendes gerechnet:

- Bilden der Differenzfunktion d (x)

   d (x) = f (x) - g (x)

            = (1-x) * e^x

- Ableiten von d (x)

  d'(x)  = -x *e^x

 d''(x)  = (-x-1) * e^x

- notwendige Bedingung: d'(x) = 0

  0       = -x * e^x

  x       = 0

- hinreichende Bedingung: d'(x) = 0 ;  d"(x)</>0

  d"(0) < 0    -> Hochpunkt bei x = 0

- d (0)  = 1   -> HP (0|1)

-Randextrema:

 Ablesen der Ränder im Koordinatensystem -> x1=1    ;      x2=-5

 d (1) = 0

d (-5) =6 * e^-5

Sind meine Lösungen bis jetzt soweit fehlerfrei??

Außerdem frage ich mich, ob der Hochpunkt oder einer der Werte an den Definitionsrändern den maximalen Abstand zwischen f (x) und g (x) angibt.  Könnt ihr mir helfen??

Viele Dank im voraus!

LG

Answer 1

x = 0 ist die Extremstelle der Differenzfunktion d

d ( 0 ) = 1

Der max. Abstand zwischen den Funktionen ist 1.
( wäre -1 herausgekommen dann absolut setzen | -1  | )

Dann wäre das sogenannte Randmaximum für die
Intervallgrenzen - ∞ und 1 noch zu
untersuchen.
lim x −> 1(-)  [ 1-x) * e^x ] = 0 * e^1 = 0
lim x−> -∞ [  (1-x) * e^x ] =  ∞ * 0
( hier wäre allerdings L´Hospital erforderlich,
habt er den gehabt ? )
Wie in der Skizze ersichtlich kommt dort
auch 0 heraus.

mfg Georg