Quotient bei analoger Vorgehensweise immer derselben natürlichen Zahl

Question

Tim, der gerne mit Zahlen jongliert, sitzt gelangweilt in seinem Zimmer.  Immer wieder schreibt er Kreuz und quer zahlen auf ein Blatt und denkt sich teils abenteuerliche Aufgaben dazu aus. Auf einmal macht er nach dem aufschreiben der zahlen 631 und 472 eine Entdeckung.  Durch Aneinanderreihung der beiden zahlen erhält er die beiden sechsstelligen zahlen 631472 und 472631. Er subtrahiert nun sowohl bei den beiden sechsstelligen zahlen als auch bei den beiden dreistelligen Zahlen die kleinere von der größeren. Anschließend dividiert er die Differenz der sechsstelligen zahlen durch die Differenz der dreistelligen zahlen und erhält so zu seiner Überraschung eine natürliche Zahl.

Überprüfe dies und zeige allgemein, weshalb für je zwei verschiedene dreistellige ausgangszahlen der Quotient bei analoger Vorgehensweise immer derselben natürlichen Zahl entspricht.

Answer 1

Hi,

Es sei die Zahl 1 mit a (also 631) und die Zahl 2 mit b (also 472) beschriftet.

Nun haben wir oben die kleine Zahl. Schreiben wir mal die große Zahl auf:

Wir brauchen den Faktor 1000 um das a "vor" das b zu setzen.

A = 1000a + b

B = 1000b + a

Differenz:

A-B = 1000a+b - (1000b-a) = 999a-999b = 999(a-b)

a-b = a-b

Quotient:

999(a-b)/(a-b) = 999

Es ist also egal welche dreistelle Zahl man nutzt. Das Ergebnis ist immer 999.

Grüße