Phasenportrait auf Papier zeichnen

Question

für das folgende lineare Gleichungssystem soll für K = 2 das Phasenportrait auf Papier gezeichnet werden (Klausuraufgabe):

$$ \dot { x } =\quad \begin{pmatrix} -1 & K \\ \frac { 1 }{ K }  & -1 \end{pmatrix}\quad x\quad $$

Der Ansatz generell ist mir zwar bekannt (glaube ich zumindest - bitte um Korrektur falls nicht):

1. Eigenwerte bestimmen, um die Stabilität bzw. die Ruhelage(n) zu ermitteln

2. zu den Eigenwerten die Eigenvektoren berechnen, um die Richtung der Trajektorien zu ermitteln

Aber wie zeichnet man nun das entsprechende Phasenportrait?

Comments

Anstatt es mit halbrichtigen Kochrezepten zu probieren, koenntest Du einfach die allgemeine Lösung und die Fixpunkte ausrechnen und dann ein paar Bahnkurven zeichnen.

Answer 1

um die allgemeine Lösung des DGL-Systems zu bestimmen, berechnet man die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix.

Hier erhält man

$$  { \lambda }_{ 1 }=-2\\{ v }_{ 1 }=\begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix}\\{ \lambda }_{ 2 }=0\\{ v }_{ 2 }=\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}\\$$

Die allgemeine Lösung ist also

$$\vec{ x }(t)={ c }_{ 1 }e^{-2t}\begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix}+{ c }_{ 2 }\begin{pmatrix} 2\\1\end{pmatrix}\\\text{bzw. }\\x(t)=-2{ c }_{ 1 }e^{-2t}+2{ c }_{ 2 }\\y(t)={ c }_{ 1 }e^{-2t}+{ c }_{ 2 }\\$$

Mithilfe der beiden Gleichungen kannst du nun die Bahnkurve ermitteln, es ergibt sich

$$ y=-\frac { x }{ 2 }+2{ c }_{ 2 } $$

Das kannst du nun zeichnen.