Skalare DGL: Phasenportrait und Grenzwertbetrachtung

Question

Aufgabe

Skalare DGL: x'(t) = 1-e^x, x≥0

a) Berechnen Sie alle stationären Lösungen.

b) Zeichnen Sie das Phasenportrait (x',x)-Diagramm inklusive Pfeilen, welche den Verlauf der Lösung anzeigen.

c) Betrachten Sie die Anfangsbedingung x(0)=1. Bestimmen Sie graphisch den Grenzwert

lim t->c von x(t)

(C ∈ ℝ oder C = ±∞)

Ansatz:

a) Funktion = 0 setzen, x ermitteln

Answer 1

Hallo

was kannst du an b nicht, ?

hier das Phasen Bild mit 3 Beispiellösungen, ein mit x(0)=1

lul

Comments

Ich raffe nicht wie ich selbständige auf das Phasenportrait komme. Wie geht man vor?

Text erkannt:

\( x^{\prime}(t)=1-e^{x}, \quad x \geq 0 \)
a) Stationüre Lsg.
\( \begin{array}{l} x^{\prime}(t) \stackrel{!}{=} 01-e^{x}=0 \\ \text { Lo eenn } x=0, \quad \ln (1)=x \\ \operatorname{dim} x^{\prime} t=0 \quad x_{1}=0 \\ \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \dot{x}(t)=1-e^{x} \\ \frac{d x}{d t}=1-e^{x} \Leftrightarrow \int \frac{1}{1-e^{x}} d x=\int 1 d t \\ x-\ln \left(1-e^{x}\right)=t+c \mid e^{c)} \\ e^{x}-\left(1-e^{x}\right)=e^{(t+c)} \\ e^{x}-1+e^{x}=e^{t+c} \Leftrightarrow 2 e^{x}=e^{t+c}+1 \\ e^{x}=\frac{e^{t+c}+1}{2} \mid \ln (1 \\ x=\ln \left(\frac{e^{t+c}+1}{2}\right) \end{array} \)
b) Phasenportrait

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Hallo

Was ich dir geschickt habe ist eigentlich kein "Phasenportrait"

das gibt es eigentlich nur für Dgl 2 ten Grades y''=f(x,t) besser ein System von 2 Dgl y'=f(x,y) und x'=g(x,y)

Was ich gezeichnet habe ist  für jedes x die Steigung als kleinen Richtungsstrich  x' so dass man dann die Löungskurve direkt zeichnen kann zu gegebenen Anfangswerten ,

so ist bei x=0 die Steigung überall 0. bei x=1 überall 1-e=-0,6..

usw. Eigentlich nennt man das "Isoklinen"

Kannst du rauskriegen, was bei dir ein Phasenportrait ist?

denn x' gegen x auftragen ist keines .

Gruß lul