Grenzwert. Limes geg. unendl. { a }_{ n }=\frac { { a }^{ n }-{ a }^{ -n } }{ { a }^{ n }+{ a }^{ -n } } \quad a\neq 1

Question

habe diese Grenzwert Aufgabe in der ich n gegen unendlich laufen lassen soll.

$${ a }_{ n }=\frac { { a }^{ n }-{ a }^{ -n } }{ { a }^{ n }+{ a }^{ -n } } \quad a\neq 1$$

Vielen Dank

Answer 1

GW  = lim_n→∞  ((aⁿ - a^-n) / (aⁿ + a^-n))  

   man kürzt den Bruch  ( dividiert also jeden Summanden im Zähler und im Nenner)

                         einmal durch aⁿ :

            GW  =  lim_n→∞  ((1 - a^-2n) / (1 + a^-2n))  =  1  für  |a| > 1        [ a^-2n → 0 ]  

                         und einmal durch a^-n :     

            GW   =  lim_n→∞   ((a²ⁿ - 1) / (a²ⁿ + 1))   = -1  für |a| < 1         [ a²ⁿ → 0 ]  

Gruß Wolfgang