gegeben ist eine lineare Abbildung f: V->V, mit f(A)=A+A^T und A sei eine nxn Matrix. Wir bilden also vom K^nxn in den K^nxn ab.
gesucht sind die Eigenvektoren und Eigenwerte der Abbildung, außerdem wird nach der Diagonalisierbarkeit gefragt.
Zu Eigenwerten und Eigenvektoren:
Für diese gilt f(A)=k*A , mit A ungleich 0, demnach gilt :
A+A^T=k*A,
nach meiner Überlegung gilt dies wenn A eine symmetrische Matrix ist: Somit wäre k=2 der Eigenwert und A=sym. Matrix meine Eigenvektoren
oder aber A ist eine schiefsym. Matrix dann würde k=0 gelten und alle schiefsym. Matrizen wären die Eigenvektoren.
Bei der Diagonalisierbarkeit habe ich meine Schwierigkeiten, f ist ja diagonalisierbar wenn eine Basis existiert, sodass die Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basen eine Diagonalmatrix ist.
Außerdem dürfte gelten, dass dimV=dim(U1)+dim(U2) , mit U1 ist der Unterraum der sym Matrizen und U2 der Unterraum der schiefsym. Somit könnte ich doch eine Basis von K^nxn wählen die aus Eigenvektoren besteht und daraus folgt, dass T diagonalisierbar ist.
das dürfte eigentlich so stimmen oder bring ich etwas durcheinander?
grüße und vielen Dank
