Aus Ziffernsumme auf die Zahl schließen ohne Rechenprogramme

Question

1. Die Ziffernsumme von 4444^{4444} sei A. Die Ziffernsumme von A sei B. Die Ziffernsumme von B sei C. Bestimmen Sie C. (Wenn Sie einen Taschenrechner verwenden, dann nur einen mit höchstens 10 Dezimalstellen). 
   Hinweis. Wie groß können A, B bzw. C hÖchstens sein?

    Ich würde ja meinen Lösungsansatz dazuschreiben leider habe ich dieses mal wirklich keinen. Ih hoffe ihr könnt mir Tipps geben

   Ich bedanke mich im Voraus

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1. Die Ziffernsumme von 44444444 sei A. Die Ziffernsumme von A sei B. Die Ziffernsumme von B sei C. Bestimmen Sie C. (Wenn Sie einen Taschenrechner verwenden, dann nur einen mit höchstens 10 Dezimalstellen).
   Hinweis. Wie groß können A, B bzw. C hÖchstens sein?

    Ich würde ja meinen Lösungsansatz dazuschreiben leider habe ich dieses mal wirklich keinen. Ih hoffe ihr könnt mir Tipps geben

   Ich bedanke mich im Voraus

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Die Ziffernsumme von 44444444 sei A

Ist A dann nicht einfach 8 * 4 = 32 ?

Oder soll das eine Zahl mit beliebig vielen Vieren sein. Ansonsten sind B und C ja auch ausrechenbar. Dann ist die Frage nach dem höchsten Wert aber irgendwie witzlos.

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1. Die Ziffernsumme von 4444^{4444} sei A. Die Ziffernsumme von A sei B. Die Ziffernsumme von B sei C. Bestimmen Sie C. (Wenn Sie einen Taschenrechner verwenden, dann nur einen mit höchstens 10 Dezimalstellen). 
   Hinweis. Wie groß können A, B bzw. C hÖchstens sein?

    Ich würde ja meinen Lösungsansatz dazuschreiben leider habe ich dieses mal wirklich keinen. Ih hoffe ihr könnt mir Tipps geben

   Ich bedanke mich im Voraus

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habe mich vertippt 4444^4444

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Wie gut soll denn hier abgeschätzt werden. Du kannst die Anzahl Ziffern mit dem dekadischen Logarithmus abschätzen.

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wie willst du das abschätzen wenn ich den genauen Wert benötige

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Hinweis. Wie groß können A, B bzw. C hÖchstens sein?

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Das Kann ja nur eine Zahl mit alles einsen sein

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Ist das eine Vermutung oder schon nachgewiesen?

Grundsätzlich ist für einen Mathematiker immer der Weg interessanter als das Ergebnis.

D.h. Du solltest nicht nur einen Satz in den Raum werfen sondern ihn versuchen auch mathematisch zu begründen.

Answer 1

4444^4444 = 5.103632503725508048204025019552... e16210

mod N =...2994467678743279370416826869347245921635509244741066157981696 {letzte Stellen}

Vermutlich will nur jemand hören: wenn von den 16211 Stellen die ersten 10 = 5103632503 {QS=28},

dann ist A ≤ 28+9*16201=145837

Exakt sind es bei der Ziffernverteilung:

0=1599

1=1615

2=1661

3=1677

4=1653

5=1594

6=1614

7=1605

8=1605

9=1588

A=1615+2*1661+3*1677+4*1653+5*1594+6*1614+7*1605+8*1605+9*1588=72601

und wegen

a^b = e^{ln(a)*b}=10^{ln(a)/ln(10)*b}

4444^4444=10^{ln(4444)/ln(10)*4444}=10^16210.70787939468... -> 16211 Stellen

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Zugabe:

10^x = 10^floor(x)*10^frac(x) mit floor=Abrunden und frac(x)=x-floor(x)=Rest

10^0.70787939468=5.1036325037...

10^floor(16210.70787939468)=10^16210

10^16210.70787939468=5.1036325037...*10^16210