Stammfunktionen bilden lineare Substitution

Question

die Funktion f(x) = (7x + 3)^1/2 soll integriert werden.

F(x) = 1/1,5*7  *(7x + 3)^3/2

meine Frage: wir haben hier offensichtlich die lineare Substitution angewandt. Was mache ich jedoch, wenn der innere Teil keine lineare Funktion darstellt ?

Bsp.: f(x) = (7x² + 3x ) ^1/2

            Muss man dann den inneren Teil auch beachten und durch die Ableitung dessen dividieren, müssten wir gar substituieren ?

oder käme als Lösung F(x) = 1/ 1,5  *( 7/3x³ + 3/2x² ) ^3/2 heraus

Luis

Answer 1

Bsp.: f(x) = (7x² + 3x ) ^1/2

das Integral kannst Du über die quadratische Ergänzung lösen.

http://www.integralrechner.de/

Answer 2

> müssten wir gar substituieren?

 Müssen tut man gar nichts. Manchmal ist Substitution die richtige Methode zur Lösung eines Integrals. Ob es bei deinem Beispiel allerdings hilfreich ist, weiß ich nicht.

> oder käme als Lösung F(x)=1/1.5 * (7/3 x^3 +3/2 x^2)^{1/2} heraus?

Das kannst du selber herausfinden, indem du die Probe machst und den Term ableitest.

Answer 3

Die innere Funktion muss beim Integrieren auf jeden Fall beachtet werden. Dabei genügt es im allgemeinen nicht, einfach durch die innere Ableitung zu dividieren.

Im Beispiel.: f(x) = (7x² + 3x ) ^1/2 kommt als Lösung ganz sicher nicht  F(x) = 1/ 1,5  *( 7/3x³ + 3/2x² ) ^3/2 heraus.

Comments

wäre toll wenn du neben deiner Kritik noch einen Lösungsansatz bereitstellen würdest. So kann ich deiner Antwort nur ein "falsch" entnehmen. Bringt mich nicht weiter

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Deine Frage lautete: "Was mache ich jedoch, wenn der innere Teil keine lineare Funktion darstellt ?  Bsp.: f(x) = (7x² + 3x ) ^1/2.

Muss man dann den inneren Teil auch beachten und durch die Ableitung dessen dividieren, müssten wir gar substituieren ?

Oder käme als Lösung F(x) = 1/ 1,5  *( 7/3x³ + 3/2x² ) ^3/2 heraus?

Diese Fragen habe ich beantwortet.