Ich denke, dass man sich gut darauf berufen kann, dass
x - [x] immer zwischen 0 und 1 liegt, bzw
[x] - x immer zwischen 0 und - 1.
Also bei 1.4
7[x] - 5x = 40
<=> 7[x] - 5x - 2x + 2x = 40
<=> 7[x] - 7x + 2x = 40
<=> 7( [x] - x ) = 40 - 2x
<=> ( [x] - x ) = 40/7 - ( 2/7 )x
Nun ist y = 40/7 - ( 2/7 )x die Gleichung einer
Geraden, und auf dieser müsste es dann ja Punkte mit
einem y-Wert zwischen 0 und 1 geben.
Für y =0 ergibt sich 0 = 40/7 - ( 2/7 )x
<=> x=20
und für y=1 1 = 40/7 - ( 2/7 )x
x = 16,5
Also kommen nur x-Werte zwischen
16,5 und 20 (einschließlich) infrage.
Außerdem zeigt 7[x] - 5x = 40
<=> 7[x] = 40 + 5x #
5x muss eine ganze Zahl sein, und 40+5x muss
durch 7 teilbar sein. Der kleinste mögliche wäre x=16,6aber 40+5*16,6 = 123 geht nicht durch 7
Die nächste durch 7 teilbare ganze Zahl nach 123 ist 126.
Die wird für x=17,2 erreicht.
Probe: 7[x] - 5x = 40
7*17 - 5*17,2 = 40
119 - 86 = 33 passt nicht
Also muss man in 1,4er Schritten weiter gehen (damit das Erg.
bei # durch 7 teilbar bleibt) und erhält für 18,6 wieder
7*18 - 5*18,6 = 33 und beim nächsten,
also 20 die gesuchte 40.
Damit ist 20 die einzige Lösung.
Bei 1.5 geht es vielleicht so:
17.6 =x+3(x-⌊x⌋) = 4x-3*⌊x⌋
<=> 17,6 - 4x = -3*⌊x⌋
<=> ( 17,6 - 4x ) / (- 3) = ⌊x⌋
also muss ( 17,6 - 4x ) / (- 3) eine ganze Zahl sein, und
damit 17,6 - 4x eine durch 3 teilbare ganze Zahl. #
Mit ähnlichem Ansatz wie vorhin ( {x} zwischen 0 und 1 )
erhält man noch x+3{x} =17.6
<=> 3{x} =17.6 - x
also 17,6 - x zwischen 0 und 3 .
also x zwischen 14,6 und 17,6.
Damit # gilt, muss x hinter dem Komma ...,15 oder ...,4
oder ...,65 oder ...,9 haben.
zwischen 14,6 und 17,6 wäre also zu prüfen:x=14,65 da gibt 17,6 - 4x dann -41 . Nicht durch 3 teilbar
x=14,9 da gibt 17,6 - 4x dann -42 . könnte klappen. Probe:
14,9+3*0,9 =17.6 Das ist die 1. Lösung.
x=15,15 da gibt 17,6 - 4x dann -43 . Nicht durch 3 teilbar
x=15,4 da gibt 17,6 - 4x dann -44 . Nicht durch 3 teilbar
x=15,65 da gibt 17,6 - 4x dann -45 . könnte klappen. Probe:
15,65 +3*0,65 =17.6 Das ist die 2. Lösung. etc...
