Schnittgerade von 2 Ebenen

Question

zwischen zwei Ebenen existiert eine Schnittgerade.

Beide Ebenen sind in Koordinatenform, wie kann ich auf leichtestem/schnellsten Weg deren Schnittgerade berechnen??


Mein Problem ist, ich darf keinen Taschenrechner im Abi benutzen der ein LGS lösen kann!! Das is bei uns leider Vorschrift... :/

Und wenn ich jetzt den weg übers Gleichsetzen der beiden Geraden ( ->LGS) gehe, mache ich immer Fehler, da ich es von Hand Lösen muss..


Deswegen meine Frage:

Kennt jemand noch einen anderen Weg wie ich von der KF von 2 Ebenen auf die Schnittgerade komme??

Answer 1

Beide Ebenen sind in Koordinatenform, wie kann ich auf leichtestem/schnellsten Weg deren Schnittgerade berechnen?? 

Wenn es eine Schnittgerade gibt dann ist das Kreuzprodukt der Normalenvektoren der Ebenen der Richtungsvektor der Schnittgeraden. 

Ansonsten brauchst du noch einen Punkt der in beiden Ebenen liegt. Meist langt es durch ansehen. Ansonsten ist das ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 unbekannten was man sicher lösen kann. Eventuell Probieren eine Koordinate schon gleich Null zu setzen.

Comments

Hi, erstmal danke für deine Antwort!

Aus dem Kreuzprodukt der Normalvektoren der Ebenen den RVg der Geraden zu bilden war mir gar nicht bekannt! Das ist natürlich ein sehr viel schnellerer Weg, aber wie komm ich jetzt auf den gemeinsamen Punkt ohne ein LGS aufzustellen?

Das LGS will ich ja vermeiden...

hier meine Beiden Ebenen:

E1= x1+x2-3x3=-6

E2=6x1+x2-x3=10

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Ortsvektor

x + y - 3·z = -6

6·x + y - z = 10

Setze zuerst mal z = 0

x + y = -6

6·x + y = 10

II - I

5·x = 16 --> x = 16/5 = 3.2

3.2 + y = -6 --> y = -9.2

Damit ist ein Punkt [3.2, -9.2, 0]

Richtungsvektor

[1, 1, -3] x [6, 1, -1] = [2, -17, -5]

Die Schnittgerade lautet

X = [3.2, -9.2, 0] + r·[2, -17, -5]

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Deine Schnittgerade kann nicht stimmen. Die Konkrete Aufgabe ist:

4 Punkte sind gegeben + deren Abstand (Radius!) zum gesuchten Punkt P:

S1 (4/2/-1)

S2 (3/1/2)

S3 (-3/0/3)

S4 (1/4/1)

r1 = wurzel21

r2 = wurzel2

r3 = wurzel26

r4 = wurzel14

Ich bilde aus S1/S2 Kreise und schneide die miteinander, daraus folgt Schnittebene E1:

E1= x1+x2-3x3=-6

Aus S2/S3 ebenso ergibt E2:

E2=6x1+x2-x3=10

Die Werte müssen stimmen da sie auch so in meiner Lösung stehen.

Wenn ich jetzt deine Schnittgerade verwende soll man damit einen der 3 Kreise schneiden, daraus folgen 2 ergebnisse

der abstand zwischen ergebnis und dem vierten punkt muss = r4 sein..

das geht mit deiner geraden aber nicht.. bin am verzweifeln xD

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bastel dir eine Parameterform und eine Koordinaten form, setze die x, y und z werte aus der Parameter-Ebene bspw. 5 + 3r - 2s in die Koordinaten form ein. Dann kannst du nach r oder s oder nach deiner Variable auflösen und diese in die Parameterform einsetzen, du erhältst eine Geradengleichung

Man kann auch Koordinatenformen voneinander abziehen aber wie genau das auf eine Gerade führt, ist mir entfallen :D

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kannst du ein foto der aufgabe mit grafik schicken ? Kanns mir nicht vorstellen, vielleicht liegt der Fehler bereits in der Ebenengleichung : )

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Ich bilde 4 Abstandsformeln und daraus ein Gleichungssystem.

(x - 4)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 21
(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 2
(x + 3)^2 + (y - 0)^2 + (z - 3)^2 = 26
(x - 1)^2 + (y - 4)^2 + (z - 1)^2 = 14

II - I ; III - I ; IV - I

2·x + 2·y - 6·z - 7 = -19
14·x + 4·y - 8·z - 3 = 5
6·x - 4·y - 4·z - 3 = -7

Löse das Gleichungssystem und erhalte: x = 2 ∧ y = 1 ∧ z = 3

Nun versuche das nachzuvollziehen und mache auch die Probe.

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Unser Taschenrechner kann kein LGS lösen, von Hand ist das lösen viel zu schwer und geht zu lange. Ich will den beschriebenen Ansatz unseres Lehrbuches verstehen, der ist Folgender:

Bei uns im Lehrbuch steht das man Kugel 1 + Kugel 2 und Kugel 2 mit Kugel 3 schneiden soll.

Daraus entstehen 2 Ebenen in KF form, die ich auch so hier gepostet habe. Die Werte stimmen, sind direkt aus meinem Lehrbuch.

Ich komm einfach nicht auf die Lösung!

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Meine Schnittgerade oben ist richtig. Die beiden Koordinatengleichungen sind erfüllt.

|([3.2, -9.2, 0] + r·[2, -17, -5] - [1, 4, 1])| = √14 --> r = - 692/795 ∨ r = - 3/5

r = -3/5 ist dei Lösung die zum passenden Punkt passt.

Allerdings ist diese Lösung doch vom Umfang aufwändiger als das Gleichungssystem zu lösen.

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Eben! das ding ist ja, wenn die Schnittgerade falsch ist merkst du das erst wenn du die mit der Kugel gleichsetzt... aus dem Grund wollte ich eine alternative wie ich die schnittgerade bilde um nicht einen Fehler durch das LGS zu machen, da ich ja nicht sicher sein kann ob die geraden form stimmt.

ich hab grad deinen ansatz durchgerechnet mit dem abstand aus geraden+ lösung für r... richtig clever!!

da wär ich nicht draufgekommen, das erspart aufjedenfall zeit und ich mach auch bei den vielen krummen zahlen keinen fehler, thx!!!

Ich fass nochmal zusammen: Du suchst dir also einen Ortsvektor indem du eine variabel 0 setzt und einen RV indem du das Skalarprodukt bildest..

wie bist du so schnell auf die r werte gekommen? gibt es da einen trick indem ich das einfach in meinen Taschenrechner eingebe? hab nen fx-86deplus von casio

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Ich habe einen etwas besseren Taschenrechner. Aber der günstigste Weg ist das über das obige Gleichungssystem zu machen. Das ist am schnellsten. Nutze dann lieber die eingesparte Zeit um die Richtigkeit zu kontrollieren.

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Ich hab es grade überprüft und deine Gerade in K1 eingesetzt, aber da bekomme ich andere Werte.... :((( ????

(3,2+2t-4)²+(9,2-17t-2)²+(0-5t+1)²=21

(2t-0,8)²+(-17t+7,2)²+(-5t+1)²=21

2t²-3,2t+0,64+285t²-244,8t+51,84+25t²-10t+1=21

312t²-286,8t+32,48=0

t²-239/260t+203/1950=0

t=239/520√0,107

t=0,786  v t=0,13

?!

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[3.2, -9.2, 0] + r·[2, -17, -5] - [4, 2, -1] = [2·r - 0.8, - 17·r - 11.2, 1 - 5·r]

Du hast also bereits den 2. Summanden verdaddelt - 17·r - 11.2 statt - 17·t + 7.2.

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geht immer noch nicht auf ..

(2t-0,8)²+(-17t-11,2)²+(-5t+1)²=21

2t²-3,2t+0,64+289t²+380,8t+125,44+25t²-10t+1=21

316t²+367,6t+106,04=0

t=-919/1580√919/1580²-2651/7900

t= -0,529  v  t= -1,4988

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(2·r - 0.8)^2 + (- 17·r - 11.2)^2 + (1 - 5·r)^2 = 21

(4·r^2 - 3.2·r + 0.64) + (289·r^2 + 380.8·r + 125.44) + (25·r^2 - 10·r + 1) = 21

318·r^2 + 367.6·r + 106.08 = 0

Auch hier ist die Lösung r = -3/5

Mach doch einfach immer die Probe.

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halleluja! jetzt hab ich endlic!! vielen dank!!!

hatte natürlich das 2² übersehen... wie meinst du das mit der Probe?

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Wenn du weißt das -3/5 die Lösung sein muss, kannst du die ja mal irgendwo in deine gleichung einsetzen. Stimmt es bist du auf dem richtigen weg. Passt es nicht mehr muss irgendwo ein Fehler sein.

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woher weiß ich das -3/5 die Lösung ist?

man hat ja nur den Radius vorgegeben, und der wäre das Ergebnis vom Abstand...

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Na weil du doch meine Rechnung hattest.

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Meinst du die:

|([3.2, -9.2, 0] + r·[2, -17, -5] - [1, 4, 1])| = √14

?

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Genau. Das hätte man also testweise einsetzen können um die Probe zu machen.