Aloha :)
Die Punkte der Ebene \(E_1\)$$\begin{pmatrix}\red{x_1}\\\green{x_2}\\\pink{x_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-1\\-5\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\-6\\-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\red{4-r}\\\green{3-5r-6s}\\\pink{6+2r-5s}\end{pmatrix}$$
kannst du direkt in die Koordinatenform der Ebene \(E_2\) einsetzen:$$37=4\red{x_1}+13\green{x_2}-3\pink{x_3}=4(\red{4-r})+13(\green{3-5r-6s})-3(\pink{6+2r-5s})=-75r-63s+37$$Substrahiere die \(37\) von beiden Seiten der Gleichung und erhalte:$$0=-75r-63s\implies 75r=-63s\implies r=-\frac{63}{75}\,s=-\frac{21}{25}\,s$$
Dieses Ergebnis für \(r\) setzt du nun in die Ebenengleichung \(E_1\) ein und erhältst damit die Schnittgerade \(g\):$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+\frac{21}{25}\,s\\[1ex]3+5\cdot\frac{21}{25}\,s-6s\\[1ex]6-2\cdot\frac{21}{25}\,s-5s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+\frac{21}{25}\,s\\[1ex]3-\frac95\,s\\[1ex]6-\frac{167}{25}\,s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\6\end{pmatrix}-\frac{s}{25}\begin{pmatrix}-21\\45\\167\end{pmatrix}$$
Da \(s\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden kann, kann auch \((-\frac{s}{25})\) jeden beliebigen Wert aus \(\mathbb R\) annehmen. Daher kannst du den Vorfaktor duch eine beliebige reelle Variable \(\lambda\) ersetzen:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\6\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-21\\45\\167\end{pmatrix}\quad;\quad\lambda\in\mathbb R$$
